Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者Lindemann (做一個有質感的好人)時間5年前 (2018/12/13 03:36)推噓1(1推 0噓 2→)

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※ 引述《KMS (半調子魔術師)》之銘言： : 版上已經很多人說明過 : 1+2+3 + … = -1/12 : 這個等式的錯誤是在於 : 等式的左邊是 zeta 函數在解析延拓前於 -1 的取值， : 而右邊則是在解析延拓後(也就是換了一種函數的表示法) 的取值， : 所以這個等式是沒有意義的。 : 但是事實上並不盡然，因為複變函數的解析延拓是很特別的，它是具有唯一性的。 : 而 Euler 對這個等式不嚴謹(不正確)的推導。 : 卻暗示了有可能只透過發散級數本身來得到這個解析延拓後的函數值。 : 而這件事情本身是非常有意義的。 : 有興趣的鄉民可以參考陶哲軒的部落格的一篇文章 : https://tinyurl.com/j869xct : 文章中介紹了 smooth cutoff 的概念，讓這類的發散級數可以直接從級數本身透過 : smooth cutoff得到解析延拓的值。所有黃士修解錯的習題16和辯論會解答都已經放在我個人的FB,歡迎查看,謝謝 https://www.facebook.com/hilbert214 我也不知道這樣寫能不能說服數學系,但是Stein的 p.178 第16題我已經做完了這一題其實照著提示就可以證明Γ(s)ζ(s) 二個合併在一起的解析延拓後在整個複數平面除了單極點(simple poles) s=1,0,-1,-2,.....之外都是可解析有趣的是Gamma函數的可解析是整個複數平面除了單極點(simple poles) s= 0,-1,-2,.....之外都是可解析,所以s=1確實就是一個奇點也是單極點(simple poles) 其實當天雖然是數學辯論,但是我的腦海裏面其實都是量子場論的重整化思想, 就是怎麼做一個積分,然後把發散項掃到地毯,當年我的證明算是非常漂亮簡單易懂,這也不是我想的,這是MIT開放式課程上課的弦論習題也就是說解析延拓的動手術在我眼中手法就是量子場論的重整化, 用這個1+2+3+...=-1/12又叫做zeta function regularization,這是做量子重力的基本知識在算bosonic string特別重要,下面的參考資料(105)就用到了-1/12 https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/40/084/40084717.pd f?fbclid=IwAR0Eg7nsKUwRClWJL-4_y-aaqv2ZW7l-tlWhp6esJq1_OclGob4I1H0a9Pk 重整化就是無窮大 = 無窮大 +有限, 然後逼出奇怪的有限值或是發散值, 電子的自能(self-energy)就是這樣子算出來的,如果你不承認這個怪異的方法,她確實是算出精確值其實我們也可以直接算s=1發散,這整個"手術"過程就是把無窮大掃到地毯裡面去 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.25.220 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544643387.A.975.html ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 03:39:22 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 03:42:17 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 03:44:39

推

peter308

12/13 16:56, 5年前 , 1^F

12/13 16:56, 1^F

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LPH66

12/13 19:14, 5年前 , 2^F

12/13 19:14, 2^F

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TaiwanFight

12/14 00:52, 5年前 , 3^F

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