Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者Chatterly (chatterly)時間10年前 (2014/05/27 01:24)推噓3(3推 0噓 18→)

留言21則, 8人參與討論串2/34 (看更多)

※ 引述《Hyuui (修)》之銘言： : Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果，但他說的東西有些錯誤。為了避免他 : 誤導別人，我想拉回來Math板上解說一下，順便補充一些我覺得有趣的東西。 : ── : #1JTsjw0U (Gossiping) : http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html : //Gamma解析延拓出去整個到複數平面,所有整數點包括 1 都是奇點// : #1JWWbT8- (Gossiping) : http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html : //解析延拓是每一個整數點都不可解析而不是你說的z=1// : ── : 解說如下： : 1. : 對於實部大於1的複數s，我們定義Zeta函數如下： : Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s} : Zeta函數的原始定義域是{s | Re(s) > 1}。經過解析延拓(analytic continuation)，可 : 以拓展為在 {s | s ≠ 1} 的複數平面上的解析函數。 : 而在 s=1 該點上，即為著名的調和級數。 : Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... : 我之前在某篇文章中提過，17世紀的Pietro Mengoli就證明出調和級數發散。不過我後來 : 看到另一篇蔡聰明教授的文章，他說：「在1350年左右，N. Oresme（約1323～1382）證 : 明了調和級數發散，這是歷史上第一個發散級數的例子。」 : 這個證明的思路相當簡單，有些讀者在高中時可能就已經學過了。 : 1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... : 1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ... : 第二個級數的每個括號內的值都等於1/2，無窮多個1/2加起來顯然發散。注意到第一個級 : 數的每項都大於第二個級數，故第一個級數發散。所以你想表達什麼? 這個高中數學我高中同學沒有人不知道的你根本不懂解析延拓不做 s=1的情況以至於你都在亂說誤導數學版的人 : 因此，Zeta函數在 s=1 是無法解析延拓的。不要亂說好嗎? 不是這個原因,是你不懂還一直亂說給個數學證明好嗎? : 解析延拓的Zeta函數在s等於負整數的值，有一個方便的公式可以計算： : Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1) : 其中 B_(n+1) 為Bernoulli number。 : 由於 B_n 在 {n | n為奇數，且n>1} 的值都是0，故 Zeta {-2n} = 0 拜託不要寫一些無聊的google就可以知道的東西,你顯然就是不會啊給個數學證明好嗎? : ── : 2. : 對於實部大於0的複數s，我們定義Gamma函數如下： : Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt : Gamma函數在s等於正整數的值非常容易計算，因為有以下公式： : Gamma {n} = (n-1)! : Gamma函數的原始定義域是{s | Re(s) > 0}。經過解析延拓(analytic continuation)， : 可以拓展為在 {s | s ≠ 0 or 負整數} 的複數平面上的解析函數。 : 在 {s | s = 0 or 負整數} 這些點上，Gamma函數是發散的，但我們可以使用留數定理計 : 算留數。 : Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n! 不要寫物理專業人士覺得小學生的Gamma好嗎? : ── : 3. : 關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」，可參考這篇文章。 : 1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界 : http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/ 不要扯跟你無關的,我已經叫他跟你節制點,拜託你不要亂說好嗎正確的做法都已經給你了,就是要你找出來,就像當初看你可憐給你水星進動結果你竟然看不懂,我老闆看到我的水星進動結果超讚嘆的,而你呢? 竟然看不懂還罵我解法都已經你說如下了,不要再胡說八道好嗎? 對下面給個詳細數學證明好嗎? ------ 這是統計力學一個非常基本的數學式子 s-1 ∞ x Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dx 0 x e -1 做複變解析延拓中間計算懶得打了,反正去問一個他曾經做過弦論的或是專做複變的教授應該都會很容易可以證明得到在 x=0會爆掉,所以我們必須動一些"手術",然後經過整理 s-1 1 - s-1 ∞ z 1 z 1 1 1 Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ----+------ 0 z 0 z e -1 e -1 s-1 2s 12(s+1) s-1 ∞ z +∫ ------- dz + z 1 e -1 這時候稍微有點複變常識的人會知道,只有二個resides必須做,s=0和s=-1 我們會發現上面的函數可以做計算 1 1 -------- = (-1) ξ(-1) 所以 1+2+3+... = - ----- 12 12 -1 1 ------- = 1 ξ(0) 所以 1+1+1+....= - ---- 2 2 所以黃先生,你不要一直亂造謠說我搞不懂Gamma和Zeta函數好嗎? 正如你對那些人的攻擊和造謠,拿出一點點點專業知識來說嘴好嗎? 你永遠只會扯z=1調和級數發散我上面已經證明比調和級數更不出初等的解析延拓結果了,請問你呢? 你在那裏? ----------------------------- : 不過嚴格說起來，解析延拓後的Zeta函數，在額外拓展的定義域上已經不是原本的 : 「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了，所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這回 : 事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好，它並不 : 是嚴謹的數學結果。可見你都在亂說,程度有夠不堪耶,程度差不堪算了,還說這是物理學家的把戲我是看數學寫的論文啦,不想告訴你誰寫的啦,你可以繼續在亂說 : 至於「1 + 1 + 1 + ... = -1/2」，不嚴謹地說，則是解析延拓的 Zeta {0} 的值，它在 : 弦論中有些應用。但請注意，不要把Zeta函數和Gamma函數搞混了。雖然我們知道，Zeta函 : 數和Gamma函數相乘起來有個很漂亮的關係。陶哲軒早就寫一堆有的沒的發散級數,你不要鬼扯好嗎?要不是給你 s-1 ∞ x Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dx 0 x e -1 你還在亂說我不懂Zeta函數和Gamma函數,老子都做了解析延拓給你看了,你還在誤導數學版鄉民請給個數學證明好嗎? : Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt : 這個關係成立在Zeta函數和Gamma函數原始定義域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。 : 而且這個特殊關係無法改變以下事實： : 1. Zeta函數在 {s | s ≠ 1} 發散。 : 2. Gamma函數在 {s | s = 0 or 負整數} 發散。 : 在整個複數平面上，我們比較常使用的是Riemann functional equation。 : Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s} : 我們可以由sin {πs/2}這項再次看出：Zeta {-2n} = 0 : ── : 以上是一些關於Zeta函數和Gamma函數的小說明，希望大家能弄清楚這些概念。哀,不要拜託亂說就以為你可以逃得掉好嗎? 考個研究所好嗎? 連個研究所都考不上要做什麼基本力跟量子場論和廣相,結果水星進動看不懂還要被你罵然後連個量子力學互易關係都不懂也可以寫冷笑話,你可以繼續在物理版討拍你有夠會硬凹的,程度超不堪就好好念書好嗎? 請給個數學證明好嗎? 1+2+3+....=-1/12 1+1+1+....=-1/2 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.121.246 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401125095.A.32F.html

→

Hyuui

05/27 01:27, , 1^F

05/27 01:27, 1^F

→

Hyuui

05/27 01:31, , 2^F

05/27 01:31, 2^F

→

Lindemann

05/27 01:33, , 3^F

05/27 01:33, 3^F