Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
※ 引述《Hyuui (修)》之銘言：
: 我在之前的文章中，證明了Zeta函數的解析延拓。
: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html
: 如果只要求證明解析延拓的話，不需要算出過程中一些係數的確切值。
: 也不需要動什麼奇怪手術，所以我那篇文章非常簡短。
: 而這篇文章要證明以下式子：
: Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1)
: 其中B_n為Bernoulli number。
: 這會稍微複雜一點，但也不是很困難的事。
: 而且有了該式，我們顯然可得：
: Zeta{0} = B_1 = -1/2
: = 1 + 1 + 1 + ...
: Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12
: = 1 + 2 + 3 + ...
: 注意：
: 嚴格來說，解析延拓的Zeta函數在拓展後的定義域中，
: 其實已經不是 Sum{1/n^z} 的形式了。
: 所以上述兩式等於後半的發散級數，其實並不嚴謹。
: ──
: 1.
: 我在之前的文章提到：
: 把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。
和平 理性 勿戰
題目是Stein第16題
https://imgur.com/ZlCZCTJ
昨天第16題我已經特地把這問題真正寫清楚,有興趣的鄉民可以跟我要(等我打成LaTeX)
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544643387.A.975.html
為了讓PTT的八卦版和數學版鄉民知道錯誤,我還是特地糾正這些嚴重的誤導
題目是 積分從0積分到1的被積分函數 1 / (e^t -1) => t=0 就不可解析了,所以不
可能有Cauchy積分公式,那更無法做Laurent展開,大三的工學院學生修復變應該也都學過
所以在0點就爆掉不可解析了,請問怎麼能做Laurent展開?
完全無法做作Laurent展開以下算式都是毫無任何意義和誤導
: 1 / (e^t -1)
: = 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...
: 如果真的去計算那些係數(依照Laurent展開的定義即可)，會得到以下結果：
展越多只是製造越多的pole,而且在0點就爆掉了,所以完全無法做作Laurent
展開,這些完全是非常誤導人的做法
: a_0 = -1/2
: a_(2k) = 0
: a_(2k-1) = B_2k / (2k)!
: 這裡的B_n稱為Bernoulli number，其中一種定義方式即為：
: t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! }
: 且從上述的計算可知，B_n在 n>1 時的奇數項皆為0
: 所以
: t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! }
: 做個簡單的多項式積分：
: Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt
: = Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt
: = Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) }
: 它的前幾項是：
: k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1)
: k=1, B_1 / t = -1 / (2t)
: k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1)
: k=3或更大的奇數, 0
: k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3)
: k=6, ... (省略)
: 注意到前三項就是Chatterly的「手術」亂湊出的項，但這是錯的。
所以你完全沒有抓到解析延拓的精華,只是抄Frank的數學世界,所以兜不攏
: 因為這三項根本就是第一個積分的一部分，要寫也沒寫完。
: 鄉民只要記得,這裡最大的關鍵的數學家機密就是我6月15號要公布我的計算過程
: 重點是做手術 重點是做手術
: -> 手術結果就是在下面上色的
: 重點是做手術 重點是做手術
s-1 1 s-1
∞ z 1 z 1 1 1
Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ---- + ------
0 z 0 z
e -1 e -1 s-1 2s 12(s+1)
s-1
∞ z
+∫ ------- dz
+ z
1 e -1
: (他PO在八卦板補上鐵牛運功散的上色版本比較好笑。XD)
: 所以手術失敗，患者宣告不治。
這就是傳說中的重整化
: 別說鐵牛運功散了，連生生造化丹都救不了你。
: 而且你知道嗎？
: ξ叫作"xi"，ζ才叫作"zeta"，又是一個BUG。
: 為了避免讀者混淆，我將正確的式子再寫一次：
: s-1 s-1 s-1
: ∞ z 1 z ∞ z
: Γ(s)ζ(s)= ∫ ------ dz = ∫ ------ dz + ∫ ------ dz
: 0 z 0 z 1 z
: e -1 e -1 e -1
: 即是我之前文章中寫的：
: Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
: Zeta {z}
: = 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
: = 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
: 請注意，z=1是極點，但該點並不影響積分，不需要做什麼手術避開。
不是的,是因為Gamma函數在 [0,1] 那區間會有問題跑出一堆pole,所以必須
做解析延拓,這個Elias Stein的書也有寫,我只是用比較簡單的方式說明Gamma解析延拓
和Gamma和Zeta一起乘積的解析延拓,還有問題的鄉民可以私信
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.25.220
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544712734.A.B6A.html
※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 22:54:18
※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:03:15
※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:04:48
※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:26:10
※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:41:09
→
12/13 23:59,
5年前
, 1F
12/13 23:59, 1F
→
12/13 23:59,
5年前
, 2F
12/13 23:59, 2F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 33 之 34 篇)：