Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者 (悟道修行者)時間9年前 (2015/02/22 14:16), 9年前編輯推噓5(5推 0噓 21→)
留言26則, 3人參與, 最新討論串18/26 (看更多)
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言： : 微積分(不論是初等 高等 或是 超級高等) : 都建立在一個公設上 : 圓的無窮小弧長 和 圓的無窮小弦長 是一樣的東西 有這種奇奇怪怪的公設= =? 我學到高微也沒聽過, 可能是拓樸之類的地方才有寫? : 因此有限大的弧長是 無窮小弦長的積分 我的理解, 應該是說, rectifiable curve 的 arc length 定義為 把它切好幾段之後, 每一小段的小弦長的 summation 的 supremum. 而這個東西不太好算, 所以在某些條件下的曲線, 可以直接用那個定積分公式 ∫|r'(t)|dt來算 (這個定理的推導要經過非常長的證明, 中間也一樣要用到均勻連續) : 捨此公設 : 我們連 sin θ < θ 都無法證明 怎麼可能= =... : 不信的話 你再試試看 : 如果你接受這個公設 : 那麼你必定接受 我上篇貼文只用到此公設 : 就嚴格證明了這個問題 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.251.200 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424585762.A.346.html
推
02/22 14:18, , 1F
快點證
02/22 14:18, 1F
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02/22 14:19, , 2F
感覺不是用簡單的epsilon-delta就可以證嗎= =
02/22 14:19, 2F
推
02/22 14:20, , 3F
證出來或給參考文獻 其餘免談
02/22 14:20, 3F
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02/22 14:32, , 4F
冪級數不行嗎?
02/22 14:32, 4F
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02/22 14:40, , 5F
手上沒書 只有pdf...
02/22 14:40, 5F
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02/22 14:45, , 6F
為什麼圓的弧長等於arc length?
02/22 14:45, 6F
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02/22 14:49, , 7F
你在回應我嗎?我的arc length就是指分析/微幾的那個
02/22 14:49, 7F
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02/22 14:49, , 8F
沒有歧義
02/22 14:49, 8F
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02/22 14:49, , 9F
圓周長就是圓這個curve的arc length
02/22 14:49, 9F
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02/22 14:55, , 10F
你不覺得弧長=arc length是公設嗎?
02/22 14:55, 10F
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02/22 14:55, , 11F
為什麼你可以用直線去逼近曲線?
02/22 14:55, 11F
什麼叫弧長=arc length 這不是同一個東西, 只是中英文翻譯不同嗎= =
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02/22 14:58, , 12F
難怪J大不回了XDDDDD
02/22 14:58, 12F
這不是我的問題, 這是你的問題 http://zh.wikipedia.org/wiki/弧長 自己點進去看吧, 我用的明明是正規的稱呼 =_= 如果是扇形的弧長 就會講"扇形的"
推
02/22 15:04, , 13F
没有這個公設 弧和弦是無法比較的 當然得不到上界
02/22 15:04, 13F
推
02/22 15:07, , 14F
目前證明 sin θ < θ 也在用公設 即 曲線長大於直
02/22 15:07, 14F
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02/22 15:07, , 15F
線長
02/22 15:07, 15F
我隱約覺得, 我們兩個在講的應該是同一件事 只是你的用字跟背後哲學和我的用字跟背後哲學不同而已. 你提到"無窮小的"及公設 但我排斥"無窮小"這種講法 好比「圓的無窮小弧長 和 圓的無窮小弦長 是一樣的東西」 我覺得這在分析裡是不知所云的話 我也排斥用公設(axiom)這種說詞來稱呼curve的arc length的"定義" 我認為公設是專有名詞, 不是用在這種地方 不過你前幾篇文中的那個證明, 我還是覺得過不去 我寫在ERT大的那篇推文裡
推
02/22 15:09, , 16F
這也是在用公設 因為你無法從歐幾里得五公設推出
02/22 15:09, 16F
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02/22 15:09, , 17F
曲線長大於直線長
02/22 15:09, 17F
定義一個 curve 的 arc length 的過程中 是把曲線切好幾段, 然後把每段的線段長加總之後看它的 sup 如果它的 sup 有限，就稱此 curve 為 rectifiable curve. 換句話說, 如果算出來有限就有限, 那很好, 無限就算了 在這個地方, 不必在乎"兩點間的曲線長>=直線長"這件事情如果不對 arc length的這個定義還能不能work. 反正算出來有限就天下太平了, 管他的~ ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/22/2015 15:30:13
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02/22 15:40, , 18F
就用你上面這定義好了 你有辦法證明單位圓(固定平面
02/22 15:40, 18F
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02/22 15:41, , 19F
上一個點, 所有與它距離為1的點)是rectifiable
02/22 15:41, 19F
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02/22 15:41, , 20F
curve嗎?
02/22 15:41, 20F
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02/22 15:42, , 21F
你當然不能用到"曲線長大於直線長"這個"鬼扯"的公設
02/22 15:42, 21F
來, 證明在這裡 http://ppt.cc/y7Bx http://ppt.cc/8AHJ 因為圓可以寫成 C1 的 curve, 所以得證.
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02/22 16:08, , 22F
你有用到lim sinx/x=1嗎?
02/22 16:08, 22F
不是啊 你現在的重點不是在跟我爭論說 微積分、高等微積分如果少掉那"公設" 一堆事都不能做 整個世界會大亂嗎? 我在證明給你看到目前為止你問我的東西, 根本不需要引進那個玩意兒當公設啊. 你現在又說我這個東西會不會用到 lim sinx/x 我就說我整個體系如果是從 ODE 訂/ 從冪級數訂 或者是從 pi 以定積分開始定義(我前幾篇有寫), 都是完整而且嚴謹的 因此在這幾種體系之下, 我當然可以放心的 sin'=cos 或者是動用到 lim(x->0) sinx/x = 1 ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/22/2015 16:18:21
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02/22 16:32, , 23F
那你是在回什麼文, 你用幂級數"定義"sin這件事就同
02/22 16:32, 23F
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02/22 16:33, , 24F
時"定義"(用你喜歡的用字)了圓的極小弧長=極小弦長
02/22 16:33, 24F
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02/22 16:34, , 25F
這件事, 所以你沒有少掉那公設 你是一開始就假設他
02/22 16:34, 25F
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02/22 16:34, , 26F
是對的, 喔不好意思, "定義"它是對的
02/22 16:34, 26F
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