Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者 (魯魯)時間10年前 (2015/02/20 18:38), 10年前編輯推噓5(5推 0噓 13→)
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※ 引述《yasfun (耶死放)》之銘言： 基本上y大把我想知道的部份證出來了 滿清楚的，感謝y大~ 但好像很多人不知道我再說什麼= = 我延用y大的符號再整理一次我想講的部份 Sin是圓定義，sin是自定義 （或說Sin是普遍大家都知道的Sin， 只是當一個學生被問到這問題時應該只學過圓定義的Sin） 當你看到題目要算 lim(Sinx/x) 的時候，它的Sin是已經定好的 你用級數法或ODE法定出來的是sin 所以用很簡便的方式證出來的會是 sinx/x 的極限值 至此，離回答問題還有一步，就是Sin==sin嗎？ (==表等價) 用y大的證法能夠肯定這個問題 所以一個完整的證明應該是 (證lim sinx/x = 1) + (y大的證法) 而在22954篇中alfadick給我的答案是因為sin和Sin的微分性質相同 因此他的證明是 (證lim sinx/x = 1) + (sin和Sin微分性質相同) 傳統上，在還沒證出lim Sinx/x = 1之前你是不知道Sin的微分性質的 如果用Sin的微分性質去證便是循環論證 因此在22954中應為Sinx/x的極限部份是循環論證，那篇充其量只證了sinx/x 至於要怎麼把它成為正確的證明 就是該提出像yasfun大大的證法補足，或其它相似而未用到Sin微分性質的方法 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.115.48.88 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424428735.A.80C.html
推
02/20 21:01, , 1F
你的問題在於你認為題目是問 Sinx/x，而不是sinx/x
02/20 21:01, 1F
→
02/20 21:03, , 2F
但出題者沒規定 sinx或(Sinx) 該怎麼定義。
02/20 21:03, 2F
推
02/20 21:08, , 3F
出題者如果註明(sin 請用單位圓式的定義)，那就不能
02/20 21:08, 3F
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02/20 21:10, , 4F
用alfadick的方法。否則應該也要尊重sin的其他定義
02/20 21:10, 4F
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02/20 21:12, , 5F
畢竟在邏輯上兩種定義是等價的，沒有優劣之分。
02/20 21:12, 5F
我沒說有優劣，但要證明等價，等價這件事不是你說了算 當然如果只有我認為題目是問Sinx/x，實際上是問sinx而且自己訂 那這就已經不是數學問題而是文字遊戲了 （甚至我可以訂不同的sinx，然後得到不同的答案）
推
02/20 21:39, , 6F
問題是 sin 是什麼樣的函數，這是大家有共識的，
02/20 21:39, 6F
有沒有想過Sin'=Cos也是大家有共識的，那為何證這題時不能用羅畢達？
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02/20 21:40, , 7F
只是說它有不同的定義方法，就像ln x 也不只一種定
02/20 21:40, 7F
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02/20 21:41, , 8F
意方法，但 ln x 是什麼函數，這有共識
02/20 21:41, 8F
有共識的前提是我們都相信彼此可以證出他等價 但在證明Sinx/x的極限時，「Sinx的微分能被證出」這件事是不被相信的
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02/20 21:43, , 9F
我知道你爭辯的點，但你看不懂我想說的，不說了
02/20 21:43, 9F
如果你不能接受證明Sinx/x用羅畢達，卻能接受這種證法 不覺得雙重標準嗎？前者注重數學發展脈落，後者卻覺得無妨反正定義間早有人幫證等價 這方面我確實是看不懂你想說的......
推
02/21 01:06, , 10F
O式定義的邏輯方向跟單位元式的邏輯方向是相反的
02/21 01:06, 10F
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02/21 01:18, , 11F
再者 alfadick 的證明並沒有用到 sinx/x→1
02/21 01:18, 11F
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02/21 01:18, , 12F
而是強迫一個微分性質之後證明這組函式"存在且唯一"
02/21 01:18, 12F
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02/21 01:19, , 13F
因此其他不管是怎麼來的函數組, 只要滿足這性質
02/21 01:19, 13F
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02/21 01:19, , 14F
那這就跟O式定義裡的函數等價了
02/21 01:19, 14F
那你怎麼知道{Sin,Cos}滿足這個性質呢？即：Sin'=Cos怎麼來的？ 他的證明沒有用到，但你從圓定義證過來就會用到
推
02/21 01:27, , 15F
那就不是O式定義的問題了
02/21 01:27, 15F
這不是O式定義的問題，但不符合數學發展的脈落 也就是大家常說的「不能在還沒證Sinx/x的極限之前就用到Sin'=Cos」 如果今天打破這個慣例，我根本可以用羅畢達直接下手了
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02/21 01:28, , 16F
我前面也說這是兩條證明的路子
02/21 01:28, 16F
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02/21 01:28, , 17F
當然要從O式定義證出sinx/x→1也是可以的事
02/21 01:28, 17F
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02/21 01:29, , 18F
但你可以說那是O式sin,cos的性質
02/21 01:29, 18F
是O式sin,cos的性質沒錯，但O式定義和圓定義還是要連結（證等價） 不然最後就變成什麼都自己定，發展一套自己的數學 講清楚一點就是 sin'=cos cos'=-sin lim (sinx/x)=1 ...... 好多好多，至此這些性質都沒錯 但這跟Sin、Cos有什麼關係？ 你說因為Sin, Cos滿足ODE，存在唯一定理說它們等價 此時問題就在於：你怎麼知道Sin, Cos滿足ODE？ （注意：此時你還沒有Sinx/x→1 和 Sin'=Cos這兩個性質） ※ 編輯: gj942l41l4 (59.115.48.88), 02/21/2015 01:41:34
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