Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者 (悟道修行者)時間10年前 (2015/02/17 20:34), 10年前編輯推噓7(7推 0噓 15→)
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PS: 我這篇沒有要直接回覆原PO的問題 只是為了進一步闡述我推文的東西 ※ 引述《sightseer ()》之銘言： : 標題: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義 : 時間: Tue Feb 17 19:39:52 2015 : : 常見的證明lim sinx/x=1 as x approaches 0的方法如下(夾擠定理) : : http://tinyurl.com/kgkuehy : : 其中用到 扇形OKA的面積=1/2*R^2*x : : 但是這已經先假設我們已知如何定義並計算扇形面積了 : : 所以如果"面積"概念尚未定義的情況下 : : lim sinx/x=1如何證明? : : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.166.85.225 : ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424173195.A.25F.html : 推 JohnMash : sin x/ x ----> cos x/ 1 ------> 1 02/17 19:48 : → alfadick : 一般大一微積分的系統而言,sin'=cos先用到這個limit 02/17 20:18 : → alfadick : 導致循環論證. 除非用非常見的系統. 02/17 20:19 我所謂非常見的系統，指的是將 sin, cos 等六個三角函數的定義換方式定義 也就是不要照高中數學的那套定義(單位圓然後blah blah blah)來定義。 譬如有人把 sin,cos 定成 若函數f,g: R->R 滿足 f'=g, g'=-f, f(0)=0, g(0)=1 則稱f為正弦函數, 特記為sin； g為於餘弦函數, 特記為cos。 然後再用微分方程/冪級數討論、證明符合這樣的要求的函數f及g都存在且唯一。 (細節我手上的書有寫 但我沒有花時間讀過 所以這邊只是文字帶過去XD) (也或許用存在唯一性定理就可以了, 不需要用到冪級數證, 因為一用到冪級數, 又得引進那套冪級數那套龐大的理論, 好比逐項微分什麼之類的, 挺累贅的. 但話再講回來, 存在唯一性定理也輕鬆不到哪去xdd) 這樣sin'=cos的證明就不需要動用到 lim(x->0) sinx/x=1 這個先備定理了 (因為利用這種定義方法，sin'=cos就是定義) 然後你再付出一定的代價證明羅必達，就可以迴避所謂面積/扇形面積的概念來證 lim(x->0) sinx/x=1 l'Hopital's rule也有分 weak/strong version, 兩個version要證明所須付出的代價不同, 一個證明三行就結束, 一個要寫很多行. 手上沒書, 懶得查(我也沒背)是不是以這例子光weak version就能用 但我覺得或許還是有不用動用到l'Hopital's rule的證明. 等其他人補充. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.251.200 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424176497.A.D74.html ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 20:44:22
推
02/17 20:43, , 1F
感覺很妙。不過我還沒有check這個idea是否完全正確
02/17 20:43, 1F
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 20:45:53 ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 20:46:29
推
02/17 21:49, , 2F
直接quote一階線性系統存在唯一定理(笑
02/17 21:49, 2F
→
02/17 21:50, , 3F
另一個定法就是直接定義 sinx=他的冪級數展開
02/17 21:50, 3F
→
02/17 21:50, , 4F
那這樣的做的話那個極限就幾乎是 trivial
02/17 21:50, 4F
推
02/17 21:52, , 5F
Rudin 的高微就有用這個方法XD
02/17 21:52, 5F
→
02/17 21:59, , 6F
喔對冪級數完就不用羅必達 之前冪級數沒念很深xd
02/17 21:59, 6F
推
02/17 22:39, , 7F
你還差確認極限存在 極限存在才能用羅必達
02/17 22:39, 7F
lim(x->0)sinx=0 存在不用驗證, 因為已知sinx可微分, 所以連續, 所以極限值等於函數值
→
02/17 22:42, , 8F
還有你要說明f就是sin，g就是cos
02/17 22:42, 8F
→
02/17 22:43, , 9F
即便唯一 為何他們和一般常見的定義等價
02/17 22:43, 9F
要證明這種方法定義出來的sin, cos和一般定法的sin, cos等價很簡單 因為滿足這樣的f,g(ie. ode訂法的sin,cos)是唯一的, 又一般訂法的 sin,cos滿足這些性質(sin'=cos, cos'=-sin, sin0=0, cos0=1) 所以我們訂法的 sin,cos 和一般訂法的 sin,cos完全一樣
→
02/17 22:44, , 10F
當然用冪級數展出來應該是一樣啦 不用的話就
02/17 22:44, 10F
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 23:53:08 ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 23:54:22
推
02/18 12:34, , 11F
是要確認sinx/x極值存在 不是sinx存在就好
02/18 12:34, 11F
→
02/18 12:35, , 12F
還有你此時並不知道普遍定義的sin微分是什麼
02/18 12:35, 12F
→
02/18 12:36, , 13F
用一般定法的sin'=cos的說法來證 是自證了
02/18 12:36, 13F
沒有自證 我覺得應該是你誤解我上面的說法 不如你說清楚一點哪裡發生自證 來討論看看
推
02/18 12:47, , 14F
啊想錯了 第一句當我沒說
02/18 12:47, 14F
→
02/18 12:50, , 15F
要確認的是sin'/x'存在 但這trivial
02/18 12:50, 15F
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/18/2015 13:29:08
推
02/18 22:02, , 16F
「一般定義」的sin'=cos 是利用到sinx/x極限的結果
02/18 22:02, 16F
→
02/18 22:03, , 17F
而你拿這點先說f==sin，才去證sinx/x的極限 不就自
02/18 22:03, 17F
→
02/18 22:03, , 18F
證?
02/18 22:03, 18F
→
02/18 22:04, , 19F
你能證得的只有lim f/x=0 至此你還沒跟sin扯上關係
02/18 22:04, 19F
→
02/18 22:05, , 20F
=1 typo抱歉
02/18 22:05, 20F
→
02/19 12:12, , 21F
我們的分歧應該是中文閱讀的理解不同的問題~~
02/19 12:12, 21F
→
02/19 12:13, , 22F
我跟你後面討論的不同的東西XD 難怪互異
02/19 12:13, 22F
我後面跟你討論的都是在回答你的這個問題： gj942l41l4 : 還有你要說明f就是sin，g就是cos gj942l41l4 : 即便唯一 為何他們和一般常見的定義等價 ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/19/2015 12:15:12
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