Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者sippo ( )時間10年前 (2015/02/22 15:07)推噓4(4推 0噓 7→)

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: 就是為什麼圓面積=pi*r^2，其證明過程(在一般的大一微積分架構下) : 一定會用到了三角函數sin'=cos的事實， : 而sin'=cos之所以能證，又是因為先知道 lim(x->0) sinx/x=1。 : 如果 lim sinx/x 的證明過程扯到圓周長=2pi*r呢？(或弧長, 同一回事) : 我認為也會循環論證。問題有二： : (i)曲線弧長的嚴謹定義還沒給出來, 怎麼知道怎麼算 : 或者知道怎麼算, 過程又會用到積分, 積分的過程中的一環又會用到 sin'=cos : (ii)假如放水一下, 睜一隻眼閉一隻眼, 允許偷渡弧長的定義, 這也有問題, : 因為為什麼全世界不管各式各樣的圓，它的圓周長和半徑的比值是定值， : 這件事情並沒有證過。什麼「圓都相似啊」的論述，我認為太粗糙，不能解釋。我不太同意 "圓面積一定要用微積分才能嚴謹定義" 這個陳述。我覺得面積可以定義成 "一個區塊跟單位正方形的比值" 實分析一開始就討論到怎樣的區塊是可測，怎樣是不可測的 (測度論並沒有用三角函數，所以沒有循環論證的問題) 1. 首先證明 "圓是可測的區塊"，這用多邊形取極限可以確定。 2. 接著證明 "圓面積正比於r平方"，這能否不用三角函數就嚴謹的說明呢? 我相信也是可以的。先把任意圓C 跟單位圓c 都做出外切正方形，稱為 S 和 s 接著做這兩個圓的內切正n邊形，稱作Pn 跟 pn 目標是證 c/C = s/S，而 s/S = pn/Pn 可以從古典幾何中證明， pn/Pn -> c/C 是取極限的過程，實分析中可以嚴謹證明，我推測邏輯上是成立的 (如果大家有興趣我可以仔細寫一下 XD) 3. 接下來，我認為證明 sin(x)/x 的極限，並不需要知道 pi 的精確值只要能滿足面積夾擊的不等式就可以了。所以一旦證完 2. 之後就可以證了。 * 老實說，我覺得弧長比面積還難定義。面積的根據是 outer measure ，對 countable 矩形做交集聯集，都有固定做法。弧長...可能真的要用到一些三角函數的性質 (抖) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.109.34.157 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424588834.A.B7E.html ※ 編輯: sippo (98.109.34.157), 02/22/2015 15:09:30 ※ 編輯: sippo (98.109.34.157), 02/22/2015 15:10:18

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alfadick

02/22 15:21, , 1^F

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secjmy

02/22 15:52, , 2^F

02/22 15:52, 2^F

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alfadick

02/22 16:07, , 3^F

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