Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義
我以前有想過類似的問題：怎麼知道圓形是 "封閉曲線" 呢？解釋如下：
幾何上，以O為圓心的單位圓c的定義是 c:{ (x,y)| d((x,y),O)=1 }
其中 d( , ) 是歐式空間的距離，在二維就用畢氏定理計算。
首先我們知道，對於任意 x屬於[-1,1]，都存在 y(x) 使得 (x,y)屬於c
證明就是畢氏定理，還有要用到實數的完備性。
考慮第一象限，因為 y= sqrt(1-(x^2)) 這個函數是連續的，而直接蘊涵了:
(1) 圓形有無限多個點
(2) 因為在有界空間中有無限多個點，所以圓形有 accumulating point
(3) 由對稱性，圓形這個集合是 connected 的
(4) 圓形在第一象限的圖形可以用連續函數表示，所以圓形是個一維集合
(5) 由幾何上定義的 sin, cos 連續
這些論述看似都很直觀，因為圓形是R^2中的球
但其他空間 (利如Lp等等) 中也能定義球，
在那些空間，用的不一定是歐式 metric，因此球也不一定有這些性質。
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