Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義
以下是我個人的想法~有錯請指正~
讓我們假設幾個應該大家都能接受的條件
1. 有power series各種好的性質(收斂半徑內微分=逐項微分)
2. i=根號(-1)
3. e^x的各種等價定義(此處各種當然是不包含三角的定義)
4. 已知如何用微積分算曲線長度
為表區別
用單位圓訂出的三角函數記為Sinx,Cosx
用power series訂出的三角函數記為sinx,cosx
(sinx=x-x^3/(3!)+..., cosx=1-x^2/(2!)+...)
want: (cosx,sinx)=(Cosx,Sinx)
(當然我可以說剛好x代各種值都滿足(cosx,sinx)=(Cosx,Sinx)
但是這樣有點過於巧合，因此我想說明這個巧合是怎麼來的)
proof:
首先，d(sinx)/dx=cosx, d(cosx)/dx=-sinx，(by逐項微分)
所以d(sinx*sinx+cosx*cosx)=sinx*(cosx)+cosx*(-sinx)=0 for all x
但sin0*sin0+cos0*cos0=1(by x代0進去power series)
所以sinx*sinx+cosx*cosx=1 for all x
至此確定cosx,sinx可看成單位圓上某一點的x,y座標
只是還不確定是哪一點
然後我們觀察得知
cosx+i*sinx=e^(ix) (在此只用到i=根號(-1))
於是呢e的各種定義告訴我們
e^(ix)*e^(iy)=e^(i(x+y))
所以有和角公式
cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny
sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny
然後又發現
for 0<=x<=pi/4
sinx = x-x^3/(3!)+...
>= x-(x^3/(3!)+x^5/(5!)+...)
>= x-(x^3/(3!)+x^5/(9*3!)+x^7/(81*3!)+...)
>= x-( (x^3/(3!))/(1-x^2/9) )
= x*(18-5x^2)/(18-2x^2)
>= 0 since 0<=x<=pi/4
所以sinx 在這個區域內恆正(或=0)
因此d(cosx)/dx<=0 for 0<=x<=pi/4
又代入x進power series得知
cos(pi/4)=1/根號2
因此cos0=1，且cosx遞減 on (0,pi/4)
同理sin0=0，且sinx遞增 on (0,pi/4)
現在我想要說的是，在x=0~pi/4之間，(cosx,sinx)=(Cosx,Sinx)
而在這個區域之外的用和角公式來處理
由曲線長度公式
(cost,sint)在t=0~x掃過的曲線長度
=積分(0~x) ((cost)'^2+(sint)'^2)^(1/2) dt
=積分(0~x) ((-sint)^2+(cost)^2)^(1/2) dt
=積分(0~x) 1 dt
=x
[結論]
因此我確定了什麼呢??
確定一開始(cos0,sin0)=(1,0), (cos(pi/4),sin(pi/4))=(1/根號2,1/根號2)
並且(cosx,sinx)這個動點，在x=0~pi/4移動時
不會走回頭路(by cosx遞減，sinx遞增)
然後算曲線的長度告訴我們
(cosx,sinx)這個動點，在x=0~pi/4移動時
其實是x增加多少，(cosx,sinx)就掃過多少的弧長
(並且(cosx,sinx)一直都在單位圓上)
所以在x=0~pi/4時，x其實可以視為我們孰悉的那個弧度
(cosx,sinx)=(Cosx,Sinx)
在0~pi/4以外的範圍用和角公式推廣~
(須發現cos(pi/2)=0, cos(pi)=-1, ...)
想得沒有很完整，拋磚引玉啦哈哈XD
祝大家新年快樂~
(跟版主說聲抱歉，剛剛一直覺得自己想錯所以砍文sorry)
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