Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義
※ 引述《sightseer ()》之銘言：
: 常見的證明lim sinx/x=1 as x approaches 0的方法如下(夾擠定理)
: http://tinyurl.com/kgkuehy
: 其中用到 扇形OKA的面積=1/2*R^2*x
: 但是這已經先假設我們已知如何定義並計算扇形面積了
: 所以如果"面積"概念尚未定義的情況下
: lim sinx/x=1如何證明?
除了前面提過用ODE或是無窮級數的方法,
是還有一個方法不用到幾何性質定義sin函數啦,
就是將函數 1/sqrt{1-x^2} 對範圍 [0,x] 的定積分記做 arcsin(x),
那可驗證 arcsin 在 0 附近是連續且嚴格遞增,
故可以定義 arcsin 的反函數並記做 sin.
接下來可以將一些熟悉的 sin 函數性質重建出來.
比如說呢, 證明 acrsin(1) 這個瑕積分收斂並將積分值定義做 pi/2.
換句話說呢, 函數 1/sqrt{1-x^2} 對範圍 [0,sin(x)] 的定積分是 x.
利用函數上下界可得積分不等式 sin(x) \leq x \leq sin(x)/sqrt{1-sin^2(x)}
最後整理一下用夾擠定理就可以了.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.242.91.107
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424284840.A.E2A.html
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 3 之 26 篇)：
