Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者 (魯魯)時間10年前 (2015/02/19 15:04), 10年前編輯推噓3(3推 0噓 84→)
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: 要證明這種方法定義出來的sin, cos和一般定法的sin, cos等價很簡單 : 因為滿足這樣的f,g(ie. ode訂法的sin,cos)是唯一的, : 又一般訂法的 sin,cos滿足這些性質(sin'=cos, cos'=-sin, sin0=0, cos0=1) : 所以我們訂法的 sin,cos 和一般訂法的 sin,cos完全一樣 我不知道我有沒有理解錯你的語意啦 但我覺得我們要討論的都是f==sin, g==cos 這個問題 然後你的解釋方法是黃色這句，沒錯吧？ 可是黃色這句話的前提就是lim sinx/x = 1 而你這篇前面通篇推論完後，得到的結論是lim f/x = 1 你還不知道sin'=cos，甚至該說，你還不知道lim sinx/x = 1 （因為至此你還沒確認f==sin） 所以你拿sin'=cos來說明f==sin，我認為是自證了 不知道我有沒有誤解到你的意思或你誤解我意思 用回文的應該比較輕楚討論(?) ========================================================== 剛剛跟朋友討論了一下，發現最根本的問題在於 「在不知道sin'=cos的情況下， sin的級數定義(或其它定義)如何和sin的幾何定義連結？」 如果沒辦法去確定這件事情 上面有人回文說的用級數定義去證，或定sinz=(e^iz - e^-iz)/2 可能都沒辦法用來證明sinx/x的極限 但怎麼連我一時想不到，有人手邊有把它們連結起來的方法嗎？ 不然過完年再來想想或翻書，過年先~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.115.48.88 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424329447.A.69B.html ※ 編輯: gj942l41l4 (59.115.48.88), 02/19/2015 15:51:53
推
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用ODE定義正餘弦函數的方法是：
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若函數f,g: R->R 滿足
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f'=g, g'=-f, f(0)=0, g(0)=1
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則定義此函數f為正弦函數sin, g為餘弦函數cos
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可以驗證這裡的函數f,g一定存在，且一定唯一
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為了底下說話方便區分，稱這種sin,cos為O式sin,cos
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所以說, 為了處理原po指出的引進面積的那個瑕疵
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整個公理系統(是這樣講?)大家都採用O式sin,cos
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揚棄高中數學的那種單位圓的sin,cos訂法這樣.
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上文的「可以驗證」指的是用冪級數跟簡單分析手段可
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以驗證上述定義中的f,g必定存在且唯一
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再來就是回答你在之前文章推文問的, O式訂法的sin
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跟cos和單位圓訂法的sin,cos是一樣、是等價的嗎？
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因為單位圓訂法的sin,cos符合上述那個定義中的f,g
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的性質，又有證過f,g是唯一，因此兩種正餘弦根本是
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同一種東西，因此等價
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當然, 當今數學單位圓訂法的sin微分為什麼會變cos
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我不需要知道, 反正我已經訂出O式sin,cos, 我的定義
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才是定義, 其它的定義我不需要去理會.
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因此當有人問起, ODE這種定法的sin和一般現在人訂的
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sin會是同個函數嗎的時候，我不用幫他們想他們的
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sin的微分為什麼會是cos
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以上是我的思考意思~~
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那我今天再問你一個問題，為何sin微分會是cos?
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這時你該怎麼證 你還不是要用到sinx/x的極限
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但你在證sinx/x的極限時又跟我說你不知道為何sin'=c
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os但你用到了？
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02/19 23:17, , 28F
你不能用sin是你自己訂的帶過一切，你還是要把它跟
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普世數學連結起來
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不是啊 我又不質疑普世的sin定義有錯= =
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只是如果我是幾個世紀前的學者,我發覺普世認知
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的sin的性質很有問題 也就是sin'=cos邏輯推導很有
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問題, 那我就自己創造ODE式的定義來訂sin跟cos
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這些sin,cos不只符合sin'=cos,還符合普世的sin的
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02/20 01:07, , 35F
「所有的性質」，包含商數關係、正弦定理、餘弦定理
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02/20 01:08, , 36F
從今天起, 別人定義的sin、普世定義的sin沒有了
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我的sin就是世界一切的準則
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02/20 01:10, , 38F
所有的性質都符合 r u sure?
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02/20 01:10, , 39F
沒證不能自己宣稱啊
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如果你一個一個證出來 當然ok
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02/20 01:11, , 41F
但這不可能 所以你必須證等價
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最簡單的問題 你用你的定義如何說明sin=y/r?
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如果沒說明這件事 你提出來的只是一個同名函數
02/20 01:15, 43F
→
02/20 01:15, , 44F
但此sin非彼sin 你這樣並沒有符合題意
02/20 01:15, 44F
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02/20 01:20, , 45F
另外「所有性質相同」著句話implies你吧sin微分視為
02/20 01:20, 45F
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02/20 01:20, , 46F
已知
02/20 01:20, 46F
→
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不然你怎麼會知道相同？
02/20 01:20, 47F
推
02/20 01:27, , 48F
O式sin的微分確實是已知啊, 根據定義那是O式cos
02/20 01:27, 48F
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等價他上面有說, 符合O式定義的函數組唯一存在
02/20 01:28, 49F
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02/20 01:29, , 50F
這就是他的"等價證明"
02/20 01:29, 50F
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02/20 01:36, , 51F
也就是說, 即使我不知道某個 p() 跟 q() 是怎麼定的
02/20 01:36, 51F
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02/20 01:37, , 52F
但只要他的微分跟我的微分一樣, 他的p,q滿足O式定義
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02/20 01:37, , 53F
那我就能說這個 p,q 就是我的O式sin,cos
02/20 01:37, 53F
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所以所有 p,q 滿足的性質O式sin,cos都會滿足
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02/20 10:04, , 55F
O式的sin已知 但一般的sin未知啊
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02/20 10:05, , 56F
那你要怎麼說O式的sin和一般的sin微分一樣
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02/20 10:05, , 57F
要說他們微分一樣 代表你兩個都要知道
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→
02/20 10:09, , 58F
當然你可以不用知道它怎麼來的 但這就失去了這個證
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明在微積分上的意義
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02/20 10:10, , 60F
就像說「我不用知道sin'=cos怎麼來的，但我一樣能用
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02/20 10:10, , 61F
羅必達」一樣
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→
02/20 10:12, , 62F
這句是對的，但這個證明的目的是要找出sin'是什麼，
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這樣證並不合適
02/20 10:12, 63F
推
02/20 17:28, , 64F
我想你大概搞混什麼東西了...
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02/20 17:29, , 65F
一般的 sinx/x→1 的證明當然還是從單位圓下手
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→
02/20 17:29, , 66F
畢竟那就是一般的 sin 的定義方式
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→
02/20 17:29, , 67F
然後從這裡得到 sin'=cos 也是什麼問題都沒有
02/20 17:29, 67F
→
02/20 17:30, , 68F
到這裡都跟O式定義無關
02/20 17:30, 68F
→
02/20 17:31, , 69F
接下來是O式定義的那一條路, 那裡證明了符合ODE條件
02/20 17:31, 69F
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02/20 17:31, , 70F
的函數組唯一存在, 叫它O式sin,cos
02/20 17:31, 70F
→
02/20 17:31, , 71F
那裡也跟單位圓一點關係都沒有
02/20 17:31, 71F
→
02/20 17:32, , 72F
最後是兩條路的交錯, 由於一般定義的 sin,cos 符合
02/20 17:32, 72F
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02/20 17:32, , 73F
ODE 條件, 由O式定義論證證明該函數組唯一
02/20 17:32, 73F
→
02/20 17:32, , 74F
故一般定義的sin,cos跟O式sin,cos是同一組
02/20 17:32, 74F
→
02/20 17:35, , 75F
這跟O式sin符不符合sinx/x→1也是沒有關係的
02/20 17:35, 75F
→
02/20 17:37, , 76F
我大概猜到你的問題了...O式定義必須要把sin跟cos
02/20 17:37, 76F
→
02/20 17:37, , 77F
一起合起來看, 所以我的推文裡一直都是寫「函數組」
02/20 17:37, 77F
→
02/20 17:38, , 78F
因此以O式定義要證sinx/x→1就一定會拉進O式cos進來
02/20 17:38, 78F
→
02/20 17:39, , 79F
這跟一般的sin'=cos的證明完全無關
02/20 17:39, 79F
→
02/20 17:39, , 80F
也就是說,單位圓定義要由sinx/x→1才能推出sin'=cos
02/20 17:39, 80F
→
02/20 17:40, , 81F
但O式定義則sin'=cos是定義, sinx/x→1可由這證出
02/20 17:40, 81F
→
02/20 17:40, , 82F
雖然最後都能得到這兩性質成立, 但邏輯方向是不同的
02/20 17:40, 82F
→
02/20 18:01, , 83F
你這樣說代表你單位圓定義出發要重證一次sinx/x的極
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→
02/20 18:01, , 84F
限
02/20 18:01, 84F
→
02/20 18:02, , 85F
這樣當然沒問題 只是多此一舉
02/20 18:02, 85F
→
02/20 18:03, , 86F
而如果你不把這兩項連結 你證出來的永遠只是f/x的
02/20 18:03, 86F
→
02/20 18:03, , 87F
極限，你的sin和數學書籍上的sin不一樣
02/20 18:03, 87F
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