Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者alfadick (悟道修行者)時間10年前 (2015/02/20 23:35)推噓18(18推 0噓 38→)

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※ 引述《secjmy (大雄)》之銘言： : 我大概知道gj大要問的問題是什麼，因為我也有相同的問題要問XD : 整理一下大家所說的東西 : 以下稱一般所定義的正弦函數為Sin，餘弦函數為Cos : Goal: 想證lim_{x→0}Sin(x)/x=1 (姑且稱為Theorem 1好了) : A. 一般的架構: : A.1 從單位圓出發，定義Sin和Cos : A.2 由A.1，再證明Theorem 1 (這裡當然不會有羅必達) : A.3 由A.2，我們還可以推得Sin'=Cos, Cos'=-Sin : B. a大所說的架構: : 我們想「不用畫扇形的方法證明Theorem 1」 : 想法: 從Sin'=Cos，再加上羅必達，得到Theorem 1 : B.1 從一組ODE開始，即 : f'=g, g'=-f } (O)式 : f(0)=0, g(0)=1 } : 我們可以用一些分析的方法證明，微分方程組(O)存在唯一解，令為 : f=sin, g=cos : B.2 欲證Sin'=Cos, Cos'=-Sin，此時我們只要驗證Sin和Cos滿足(O)式 : 我們開始驗證 : Sin(0)=0, OK! Cos(0)=1, OK! : Sin'=Cos 欸等一下!!!這個要怎麼來??? : 於是卡在這邊，我們無法驗證Sin和Cos是否滿足(O)式 : 我想gj大應該就是要問這個問題吧 : 我和gj大有同樣的疑問，希望各位大大指點 : 大家別忘了我們的目標是證明lim_{x→0}Sin(x)/x=1 維持你的符號, 小寫的sin, cos代表單位圓式的定義這個世界上有一大堆 motivation 跟 observation 可以令我們發現 sin'=cos, cos'=-sin 再講一次, 這個世界上有一大堆 motivation 跟 observation 可以令我們發現 sin'=cos, cos'=-sin 哪怕你是做純術研究, 或者做物理研究, 或甚至你只是單純畫個什麼圖, 都會發現這個事實. 只是說, 當你想要證明sin'=cos的時候, 以一般的導數定義下去證, 會看到 lim sin/x 這種東西, 你需要知道它等於誰才能往下做. 而一般的證法會用到面積概念 etc, 所以有些人可能會覺得這樣不好做下去, 那怎麼辦呢? 我所提出的做法就是, 好比說放棄sin的單位圓式定義, 改用ODE或冪級數來定義之這樣訂出來的 Sin, Cos 原生就有 Sin'=Cos的性質並且也有商數關係、倒數關係、正弦定理、餘弦定理, ...etc 一連串的性質 (每個都要證, 也都可以證) 當然在定義的過程中, 你會懷疑這樣訂出的Sin跟單位圓訂出的sin是一致的嗎? 假如你深信 sin 會有 sin'=cos 的性質, 但你暫且找不到分析手段證明他有那你就設定他有. 同時在另一方面, 用ODE訂出的f,g 存在且唯一因此若 sin'=cos, cos'=-sin, sin(0)=0, cos(0)=1, 你訂的 Sin 就是你原本的 sin, 你用這個嚴謹的定義去取代了原本 sin 的定義. 當然, 若你壓根都沒有在心理懷疑過 sin的微分是 cos 邏輯上, 你根本不需要去重新定義 sin. --- 最後快速點出我的三個結論: 1. 大一微積分扯到扇形面積公式 1/2 r^2 theta來證 sinx/x 的極限真的有不嚴謹. 因為扇形面積是用積分來證的而 sqrt(1-x^2) 的積分過程需要知道 sqrt(1-x^2)的反導函數是 arcsinx + C, 而這又是因為 arcsin 的導函數是 sqrt(1-x^2), 而為什麼 arcsin' x= sqrt(1-x^2), 這又是用到反函數定理, 且搭配 sin'=cos的事實而 sin'=cos 又是用到 lim(x->0) sinx/x = 1, 因此循環論證, 有誤 2. 維持單位圓的 sin 定義利用這個不等式: For all 0<|x|<1, |sinx-x| <= |x^3|/6 去夾擠證 sinx/x as x->0 是ok的, 問題是那個不等式要怎麼證, 我覺得正同 recorriendo 所猜測, 應該不難 3. 我個人不偏愛用 ODE 或用 power series來定義 sin, cos 我個人偏愛先定義 arcsin(定積分), 然後回頭定義 sin, 符合幾何直覺, 也嚴謹. 但一般高微書不會寫. (之所以前幾篇文章提用ODE訂法是因為我剛好翻到用ODE訂法的書剛才找到用arcsin訂法的書 XDDD) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.251.200 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424446526.A.EBE.html

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