Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者 (魯魯)時間10年前 (2015/02/23 17:22), 10年前編輯推噓7(7推 0噓 177→)
留言184則, 5人參與, 最新討論串22/26 (看更多)
: 2. gj聲稱圓面積證明法不需用到sin'=cos， : 但他所給出的證明我覺得非常不嚴謹，在此等待他的進一步說明。 : 我是完全看不懂。至於他所援引的wikipedia，指出那個證明用到shell method : (但gj沒正面指出他用了shell method, 他也說它沒變數變換或換成極坐標之類)， : 很遺憾，就我所知，shell method的嚴謹的證明，用到了圓的面積=pi*r^2這公式XD http://imgur.com/F8KiPr7
沒有變數變換 沒有極座標 沒有sin'=cos 沒有Jacobian 從頭到尾只有Riemann sum，行嗎？
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02/22 15:24,
為什麼不管大圓小圓, 圓周長和半徑的比值是定值
02/22 15:24
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02/22 15:25,
要嚴謹的證這個就很麻煩.
02/22 15:25
如果你能夠接受JohnMash講的，這個輕而易舉吧 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.228.169.75 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424683363.A.96F.html ※ 編輯: gj942l41l4 (61.228.169.75), 02/23/2015 17:24:43
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02/23 17:29, , 1F
sk*delta r和直角坐標的xy的區塊不一樣，他會質疑這
02/23 17:29, 1F
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02/23 17:30, , 2F
這兩者之間會需要做線性變換，就是那個Jacobian
02/23 17:30, 2F
我連座標化都沒有，只用 環面積<外周長*dr長方形面積 的幾何關係 還是這也要證？
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02/23 17:31, , 3F
其實也可從弧長和作圖導出sinx/x->1 when x->0
02/23 17:31, 3F
※ 編輯: gj942l41l4 (61.228.169.75), 02/23/2015 17:33:59
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02/23 17:32, , 4F
這樣導出的sin'=cos，應該就可以用三角代換
02/23 17:32, 4F
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02/23 17:32, , 5F
和sqrt(1-x^2)的積分，求圓面積
02/23 17:32, 5F
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02/23 17:33, , 6F
但犧牲的是就不能導圓周長
02/23 17:33, 6F
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02/23 17:33, , 7F
而power series導出的sin'=cos，雖然可導圓面積
02/23 17:33, 7F
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02/23 17:34, , 8F
但那power series就變成不能去證明sinx的Taylor級數
02/23 17:34, 8F
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02/23 17:34, , 9F
等於x-x^3/3!+...
02/23 17:34, 9F
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02/23 17:35, , 10F
外周長*dr應該不是長方形吧...
02/23 17:35, 10F
我的意思是一個 長=外周長 寬=dr 的長方形
→
02/23 17:36, , 11F
所以應該還是要做某種座標變換
02/23 17:36, 11F
如果能夠接受JohnMash的說法，把環細切直接幾何關係比較就出來了
推
02/23 17:56, , 12F
長=外周長 寬=dr 的長方形 極限上是這樣沒錯
02/23 17:56, 12F
→
02/23 17:56, , 13F
當然你是可以用作圖和夾擊來證出那事實
02/23 17:56, 13F
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02/23 17:57, , 14F
所以真要我說，你那也沒什麼錯，只要你的立基點是合
02/23 17:57, 14F
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02/23 17:57, , 15F
理的
02/23 17:57, 15F
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02/23 17:58, , 16F
就如我上面所說，每種approach，必會有某個點是根本
02/23 17:58, 16F
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02/23 17:58, , 17F
不能證的東西
02/23 17:58, 17F
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02/23 17:59, , 18F
舉個例:well-ordering principle能不能證呢?
02/23 17:59, 18F
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02/23 18:00, , 19F
Ans:若你把induction principle當Axiom就可以證
02/23 18:00, 19F
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02/23 18:00, , 20F
但其實兩者根本是等價敘述，所以你說之前吵那麼多
02/23 18:00, 20F
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02/23 18:00, , 21F
原因是什麼??
02/23 18:00, 21F
→
02/23 20:43, , 22F
我看不懂為什麼要圓周長*半徑, 且為何An的面積
02/23 20:43, 22F
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02/23 20:44, , 23F
被s_n-1*delta r及 s_n*delta r這兩個東西包住
02/23 20:44, 23F
→
02/23 20:45, , 24F
感覺你試圖清楚的解釋後面的東西, 前面的地方也麻煩
02/23 20:45, 24F
→
02/23 20:45, , 25F
你幫我補寫清楚一下,我以前沒研究過圓周長*半徑之
02/23 20:45, 25F
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02/23 20:45, , 26F
類的東西
02/23 20:45, 26F
→
02/23 20:46, , 27F
沒有要挑錯, 真的一時之間看不懂
02/23 20:46, 27F
可以想成 上底*高<梯形面積<下底*高 吧 當然環不能拉成梯形所以這只是一種想法，要證明要作圖夾擠
推
02/23 22:13, , 28F
把每個圓環想成像長方形的東西吧
02/23 22:13, 28F
→
02/23 22:13, , 29F
然後大圓和小圓的周長當成那長方形的長(or寬)
02/23 22:13, 29F
※ 編輯: gj942l41l4 (61.228.169.75), 02/23/2015 23:06:58
推
02/24 00:12, , 30F
呵呵，我說的超不精準的
02/24 00:12, 30F
還有 114 則推文
→
02/25 12:53, , 145F
我覺得你那個在寫出detail的時候怕有些地方會過不去
02/25 12:53, 145F
→
02/25 12:54, , 146F
我覺得有這機會, 所以可能要真的把證明完整寫出來
02/25 12:54, 146F
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02/25 12:54, , 147F
看看
02/25 12:54, 147F
→
02/25 14:38, , 148F
alfadick可以把另一本書的書名也告訴我們嗎?
02/25 14:38, 148F
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02/25 15:08, , 149F
alfadick你那個自然比初微的sigma變出Theorem 2.1.3
02/25 15:08, 149F
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02/25 15:08, , 150F
的做法來的完整
02/25 15:08, 150F
→
02/25 15:09, , 151F
但有個問題是初微的人需不需要知道這些東西，才能
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02/25 15:09, , 152F
把(初微要求的)問題解決
02/25 15:09, 152F
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02/25 15:10, , 153F
而且有個問題是(不是我能觸及的)，面積若不用積分
02/25 15:10, 153F
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02/25 15:11, , 154F
就能定義(or證明的情況下)，你用面積證明sinx/x
02/25 15:11, 154F
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02/25 15:12, , 155F
的極限，然後導出sinx'=cosx，再用theorem2.1.3的式
02/25 15:12, 155F
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02/25 15:13, , 156F
子，導出弧長公式，這樣會有循環論證??
02/25 15:13, 156F
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02/25 15:15, , 157F
課本那是不怎樣，但你不能要求所有人都要馬上能去
02/25 15:15, 157F
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用那麼嚴謹的角度去看事情(像我，我又不是數學系的)
02/25 15:16, 158F
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02/25 15:16, , 159F
我會對這些有興趣的，但我可以不注重這些(當然我還
02/25 15:16, 159F
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02/25 15:17, , 160F
是會追)，至於弧長能不能先用別的方式嚴謹定義出來
02/25 15:17, 160F
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02/25 15:17, , 161F
(不用積分)，這我就不清楚囉...
02/25 15:17, 161F
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02/25 15:18, , 162F
summary:你認知好得系統，優於別的系統之處?
02/25 15:18, 162F
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02/25 15:19, , 163F
那麼多可以殊途同歸的做法，如何比較優劣?
02/25 15:19, 163F
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02/25 15:19, , 164F
這才是我比較狐疑的地方，不然你的ODE sin為甚麼人
02/25 15:19, 164F
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02/25 15:20, , 165F
家要接受，pi=S(1-x^2)還比較能接受...
02/25 15:20, 165F
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02/25 15:22, , 166F
不過後面是我誤解了XD
02/25 15:22, 166F
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02/25 15:24, , 167F
然後，我發現到標題是"不用面積證sinx/x"，那我把
02/25 15:24, 167F
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02/25 15:25, , 168F
問題搞錯了XD
02/25 15:25, 168F
→
02/25 15:25, , 169F
所以圓面積不該先定義
02/25 15:25, 169F
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02/25 15:26, , 170F
系統太多了，要搞清楚重點才是...
02/25 15:26, 170F
→
02/25 15:30, , 171F
不過圓周長我會懷疑是否非用sin'=cos才能做出來
02/25 15:30, 171F
→
02/25 15:38, , 172F
02/25 15:38, 172F
→
02/25 15:39, , 173F
不過問題在於pi這常數就是了
02/25 15:39, 173F
→
02/25 18:01, , 174F
現在已經脫離標題很久了其實 樓上連結good
02/25 18:01, 174F
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02/25 18:03, , 175F
pi沒有問題吧 就只是一個人定的值 連結也有解釋
02/25 18:03, 175F
→
02/25 18:06, , 176F
唯的能抓的問題大概剩：為何圓內接/外切正n邊形存在
02/25 18:06, 176F
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02/25 18:27, , 177F
他就是沒有定義拓樸，沒有說明你的函數選"多好"
02/25 18:27, 177F
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02/25 18:27, , 178F
他就覺得不是證明，可問題是這些東西及是非證明補可
02/25 18:27, 178F
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02/25 18:28, , 179F
所在的系統不一樣，誰是定義，誰是導出來的，標準
02/25 18:28, 179F
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02/25 18:28, , 180F
根本就不一樣
02/25 18:28, 180F
→
02/25 19:47, , 181F
標準不一樣無所謂, 但一套系統規範好哪些是定義
02/25 19:47, 181F
→
02/25 19:48, , 182F
哪些不算之後, 在證明任何定理的時候都不行發生循環
02/25 19:48, 182F
→
02/25 19:48, , 183F
論證. 發生循環論證就不是見仁見智的問題~
02/25 19:48, 183F
→
02/25 19:48, , 184F
而是錯誤
02/25 19:48, 184F
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