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作者 hwanger 在 PTT 全部看板的留言(推文), 共4432則

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想請問關於closed function 的問題

[ Math ]22 留言, 推噓總分: +5

作者: jr80939393 - 發表於 2020/08/30 13:30(3年前)

1^F推hwanger: 假設你closed function的定義是for all a {f<=a} is08/30 14:59

2^F→hwanger: closed in R^n 那就與"epi f在R^{n+1}中是closed"08/30 14:59

3^F→hwanger: 是等價的唷08/30 14:59

4^F推hwanger: 只不過從你圖片最開頭的remark 他就是把"f is colse08/30 15:04

5^F→hwanger: d" 定義成 "epi f在R^{n+1}中是closed"08/30 15:04

6^F推hwanger: 所以從黃色和藍色可以推得epi f是closed(因為contin08/30 15:11

7^F→hwanger: uous→closed 並且closed:="epi f is closed)08/30 15:11

8^F→hwanger: 而"epi f 是凸"的要另外證08/30 15:12

9^F推hwanger: 應該不至於會搞混不過拓撲裡的closed map和這裡的08/30 15:30

10^F→hwanger: closed function是不一樣的意思唷08/30 15:31

18^F推hwanger: wiki那種寫法反而讓人覺得怪怪的 XD 不過兩者等價並08/30 16:17

19^F→hwanger: 不難證你可以證證看08/30 16:18

20^F→hwanger: 不是很重要不過跟closed function差不多的拓撲概念08/30 16:19

21^F→hwanger: 其實是lower semi-continuous08/30 16:20

[代數] 0的根號2次方是否有意義？

[ Math ]16 留言, 推噓總分: +4

作者: Mistouko - 發表於 2020/08/30 09:32(3年前)

1^F推hwanger: 對所有正實數r 可以定義0^r=0 則仍會滿足下列網址08/30 10:38

2^F→hwanger: http://math.media.powercam.cc/media/show/id/2008/30 10:39

3^F→hwanger: 的 3.a, 3.c和3.d 但因為指數通常是將乘法運算換成08/30 10:41

4^F→hwanger: 加法運算的重要工具而正實數集不是加法封閉所以這08/30 10:42

5^F→hwanger: 個情況下定義0^r用處不大(但仍可定義)08/30 10:43

6^F→hwanger: 另外對所有正整數n 0^n=0是"自然而然"的事要不然08/30 10:45

7^F→hwanger: 我們沒辦法說 "0是x^n=0的解" 這種話08/30 10:45

8^F→hwanger: 上面打錯正實數集的確是加法封閉但不是"加法群"08/30 10:47

9^F推hwanger: 至於0的√2次方因為對所有正整數n 0^n=0 所以對所08/30 10:54

10^F→hwanger: 有正有理數q 0^q自然就是0 將這個函數做continuous08/30 10:56

11^F→hwanger: extension的話(這也是一般用來定義指數函數的手法)08/30 10:57

12^F→hwanger: 我們就只能得到對所有正實數r 0^r=0這個結論08/30 10:59

13^F推hwanger: 現在比較神奇的是在這個extension下 0^0可以是008/30 11:03

14^F→hwanger: 並且這樣定義仍會滿足前述的3.a, 3.c和3.d08/30 11:05

15^F推hwanger: 我自己的觀點是要定義總是可以定義的 (譬如說繼續08/30 11:16

16^F→hwanger: 考慮解析延拓) 但有沒有用處才是最重要的08/30 11:17

[機統] 國考的題目估計偏誤最小

[ Math ]15 留言, 推噓總分: +3

作者: Ifault - 發表於 2020/08/30 05:40(3年前)

3^F推hwanger: P大的式子和原PO的結論一樣 E(sum Xi^2 /n^2)→0 as08/30 10:22

4^F→hwanger: n→008/30 10:23

5^F→hwanger: 考選部的更正答案仍然維持是D 理解不能冏08/30 10:25

6^F→hwanger: 延伸P大的結果 E(sum Xi^2 /n)=sigma^2+mu^2 也沒有08/30 10:27

7^F→hwanger: 比較準更冏了網路上有需要會員的詳解想知道寫了08/30 10:28

8^F→hwanger: 什麼08/30 10:29

[線代] 正交矩陣可不可以正交對角化

[ Math ]43 留言, 推噓總分: +7

作者: NTUmaki - 發表於 2020/08/28 21:16(3年前)

1^F推hwanger: 你可以試著證證看 a unitary diagonalizable matrix08/28 21:28

2^F→hwanger: is orthogonal diagonalizable iff all its08/28 21:28

3^F→hwanger: eigenvalues are real08/28 21:29

4^F→hwanger: 少一個條件 a real unitary diagonalizable matrix08/28 21:29

5^F→hwanger: is orthogonal diagonalizable iff all its08/28 21:30

6^F→hwanger: eigenvalues are real08/28 21:30

7^F→hwanger: 加上你前一篇問的 a real matrix is symmetric iff08/28 21:31

8^F→hwanger: x*Ax is real for all complex vectors x08/28 21:32

9^F→hwanger: 你已經開始把知識零散化了而沒有串起來冏08/28 21:34

10^F→hwanger: "可以 unitary 對角化，是不是...">>>對還要加上08/28 21:35

11^F→hwanger: eigenvalue必需全為實數08/28 21:35

12^F→hwanger: "像正交矩陣，他的特徵值可能不是...">>>對08/28 21:37

13^F→hwanger: "如果可以的話會變成正交矩陣必為對稱">>>對08/28 21:38

14^F→hwanger: 簡單來說所有正交矩陣的集合和所有對稱矩陣的集合08/28 21:39

15^F→hwanger: 是兩個交集非空但互不包含的集合08/28 21:40

20^F推hwanger: 這邊的確很多結果基本上都是針對複數的(因為任何多08/28 21:48

21^F→hwanger: 項式在複數都有解) 所以基本上你只要把也針對實數的08/28 21:50

22^F→hwanger: 結果挑出來特別看看就可以08/28 21:51

23^F推hwanger: 另外不論是unitary decomposition或orthogonal08/28 21:53

24^F→hwanger: decomposition 兩者都是eigen-decomposition的特例08/28 21:54

25^F→hwanger: 所以orthogonal decomposition存在的最基本條件就是08/28 21:55

28^F→hwanger: 所有的eigenvalue都是實數08/28 21:56

29^F→hwanger: 而正交矩陣基本上就是旋轉矩陣和鏡射矩陣的合成08/28 21:57

30^F→hwanger: 而任一個non-trivial旋轉矩陣基本上eigenvalue不可08/28 21:59

31^F→hwanger: 能全是實數比如說再二維上你旋轉後就沒有任何一08/28 22:01

32^F→hwanger: 向量被保持在同一方向或反方向了08/28 22:03

33^F推hwanger: 而你一旦沒了實的eigenvector 就不會有實的eigenvle08/28 22:05

34^F推hwanger: 你或許可以試著開始畫一些有關normal, Hermitian,08/28 22:11

35^F→hwanger: anti-Hermitian, symmetric, skew-symmetric,08/28 22:12

36^F→hwanger: unitary, orthogonal的Venn diagram 應該可以幫助你08/28 22:13

37^F→hwanger: 理解一些事這邊討論的主體基本上就這些矩陣08/28 22:15

38^F→hwanger: 而這邊基本上只關心unitary decomposition和08/28 22:16

39^F→hwanger: orthogonal decomposition而已08/28 22:16

40^F→hwanger: 所以性質真的不多08/28 22:17

41^F推hwanger: 如果可以先不要和quadratic form或一些不等式作連08/28 22:27

42^F→hwanger: 結先弄清這些矩陣之間的關係會比較好08/28 22:28

[中學] 請教一題高中三角函數

[ Math ]26 留言, 推噓總分: +8

作者: yizihappyQ - 發表於 2020/08/28 10:32(3年前)

1^F推hwanger: 先提供一個暴力解法兩式相減得x=-7/(3cosθ-sinθ)08/28 11:36

2^F→hwanger: 打錯 x=-7/(3cosθ+sinθ)08/28 11:37

3^F→hwanger: 代回任一式重整得下式08/28 11:40

4^F→hwanger: 54cos^2(θ)+15cosθsinθ-sin^2(θ)-49=008/28 11:40

5^F→hwanger: Ok 我想錯了 XD 原本要把cos^2換成sin^2再同除cos^208/28 11:44

6^F→hwanger: 把式子變成一個tan二次式但是不行冏08/28 11:45

7^F推hwanger: 看來只好繼續硬解令cosθ=√(1-sin^2(θ)) 重整得08/28 11:55

8^F→hwanger: 130sin^4(θ)-31sin^2(θ)+1=008/28 11:56

9^F→hwanger: 所以sin^2(θ)=1/5 or 1/2608/28 11:56

10^F推hwanger: it is stupid but works 再想想其他解法冏08/28 12:00

12^F推hwanger: XD V大說得沒錯將常數換成cos平加sin平就好了就得08/28 12:39

13^F→hwanger: 10tan^2(θ)-3tanθ-1=0 tanθ=1/2 or -1/508/28 12:41

14^F→hwanger: 看起上面的sin(θ)=1/√26會推得cos(θ)=-5/√2608/28 12:43

[其他] 離散一題

[ Math ]28 留言, 推噓總分: +8

作者: LiquidTLO - 發表於 2020/08/28 02:03(3年前)

1^F推hwanger: 還沒用形式邏輯推導過不過就語意而言一般謂詞邏08/28 02:28

2^F→hwanger: 輯總是假設domain of interpretation非空所以"對08/28 02:28

3^F→hwanger: 所有x 存在y滿足P(x,y) 總是推得存在x存在y滿足P(x,08/28 02:28

4^F→hwanger: y)"是對的08/28 02:28

5^F→hwanger: 這是因為你已經對所有x都滿足"∃yP(x,y)" 自然就08/28 02:28

6^F→hwanger: 有存在x滿足"∃yP(x,y)" (domain 非空)08/28 02:28

7^F推hwanger: 然後連續兩個存在量詞是可以交換的意即"∃x∃yP(x,08/28 02:32

8^F→hwanger: y)"和"∃y∃xP(x,y)"是等價的所以原敍述恆真08/28 02:32

9^F推hwanger: "我覺得1,2一定錯">>>為何是刪去法這是試題嗎08/28 02:34

10^F推hwanger: "∃y∃xP(x,y) 這項我找不..." >>> 令domain為R P(x08/28 02:39

11^F→hwanger: ,y)為(x+y)^2<008/28 02:39

12^F→hwanger: 則P恆錯但原敍述仍恆真08/28 02:39

13^F推hwanger: 這是因為雖然"∃y∃xP(x,y)"是錯的但"∀x∃yP(x,y)08/28 02:42

14^F→hwanger: "也是錯的所以整個implication是對的08/28 02:42

15^F推hwanger: 簡而言之原敍述會對並不是因為P(x,y)總是satisfia08/28 02:51

16^F→hwanger: ble(前面已舉出反例) 而是整個implication當前提錯08/28 02:51

17^F→hwanger: 時結論也會跟著錯所以不會有F→T的情形08/28 02:51

18^F→hwanger: 打錯所以不會有T→F的情況08/28 02:52

19^F推hwanger: 另外補充一下藉由Godel completeness theorem 你要08/28 03:00

20^F→hwanger: 判斷一個語句是否能被形式推導出來你只需觀察其語08/28 03:00

21^F→hwanger: 意是否恆真即可08/28 03:00

22^F→hwanger: 另外補充一下藉由Godel completeness theorem 你要08/28 03:01

23^F→hwanger: 判斷一個語句是否能被形式推導出來你只需觀察其語08/28 03:01

24^F→hwanger: 意是否恆真即可08/28 03:01

26^F推hwanger: 手機操作不當誤送兩次相同推文很抱歉08/28 03:17

兩題證明

[ Math ]24 留言, 推噓總分: +9

作者: balabalawhat - 發表於 2020/08/27 19:02(3年前)

3^F推hwanger: 令∠ABC=t ∠CDA=r ∠AML=s 則∠ANL=π-s08/27 21:44

5^F→hwanger: 由正弦定理 AM = AL*sin(t+s)/sin(s)08/27 21:47

6^F→hwanger: AN=AL*sin(s-r)/sin(s), AB=AC*sin(r)/sin(t+r)08/27 21:48

7^F→hwanger: AD = AC*sin(t)/sin(t+r) 全部代進去就有第一題08/27 21:49

4^F→hwanger: 忘了說是證第一題

12^F推hwanger: 已經有一個證明了反推就好了 XD08/27 23:50

13^F→hwanger: 過L作AN的平行線LB'交AM於B' 則∠LAM=∠LNM且08/27 23:52

14^F→hwanger: ∠B'LA=∠LAN=∠LMN 所以AB'L相似於NLM 推得08/27 23:54

15^F→hwanger: AB'/AL=LN/MN 相似地會有AC'/AL=LM/MN08/27 23:56

16^F→hwanger: 因為AB/AC=AB'/AL, AD/AC=AD'/AL(所以前面打錯了XD)08/27 23:58

17^F→hwanger: 則AB=LN*AC/MN, AD=LM*AC/MN 然後再用Ptolemy就行了08/28 00:01

18^F推hwanger: (我所謂的反推其實就是假設外接圓半徑為R 再把所有08/28 00:04

19^F→hwanger: 的正弦值用邊長半徑比去回推就從第一個證明得到該08/28 00:05

20^F→hwanger: 怎麼用Ptolemy的方法了)08/28 00:06

[中學] 請問一題不等式競賽題

[ Math ]37 留言, 推噓總分: +8

作者: TOMOHISA - 發表於 2020/08/23 11:48(3年前)

1^F推hwanger: 冏我自己目前想不出中學生的解法08/24 09:26

2^F→hwanger: 將原不等式的各分母除以a,b,c中最大的08/24 09:27

3^F→hwanger: 適當的移項並重令變數則原式等價於這個函數08/24 09:27

4^F→hwanger: f(x,y)=1/(x^2 + y^2)+1/(1 + y^2)+1/(x^2 + 1)-08/24 09:28

5^F→hwanger: 10/(x+y+1)^2 在[0,1]x[0,1]\{(0,0)}上非負08/24 09:29

6^F→hwanger: 因為f(x,y)→∞ as (x,y)→(0,0)08/24 09:30

7^F→hwanger: 所以我們只要考慮f在一個compact set E=08/24 09:30

8^F→hwanger: [0,1]x[0,1]\B(0,ε)上即可08/24 09:31

9^F→hwanger: 但f在E的邊界上非負(這裡用一維的微積分分析即可)08/24 09:31

10^F→hwanger: 且grad. f在E上無解所以f在E上恆非負(否則f在E的內08/24 09:32

11^F→hwanger: 點會有最小值)08/24 09:33

12^F推hwanger: 這題比較麻煩的地方是等式是發生在類似A=B C=0這種08/24 09:53

13^F→hwanger: 地方而不是預想的A=B=C08/24 09:53

19^F推hwanger: 我覺得r大的想法還蠻漂亮的呀雖然不知道r大如何證08/25 18:32

20^F→hwanger: f(a,b,c)>=f(m,m,c) 但我自己證這部份都只用到大一08/25 18:33

21^F→hwanger: 微積分的技巧比我之前要分析二元多項式的根要基礎08/25 18:35

22^F→hwanger: 多了08/25 18:35

23^F→hwanger: 修一下r大的筆誤應該是08/25 18:36

24^F→hwanger: 1/m^2[1/2+2/(1+x^2)-10/(2+x)^2]>=008/25 18:36

25^F推hwanger: 因為至少是微積分程度的解法我先po一下自己的解法08/25 23:57

26^F→hwanger: https://imgur.com/gallery/1liwm2G08/25 23:58

27^F→hwanger: https://imgur.com/gallery/k37NLZV08/25 23:59

29^F推hwanger: 不是很重要只是以防有人想知道"grad. f在E上無解"08/26 18:11

30^F→hwanger: 是如何證的令g1(x,y) g2(x,y)分別為grad. f的第一08/26 18:13

31^F→hwanger: 第二分量的分子多項式則我們只需要證G=g1^2+g2^2在08/26 18:14

32^F→hwanger: [0,1]x[0,1]上無解就可以了先找出grad. g第一第二08/26 18:16

33^F推hwanger: 分量絕對值的上界M1,M2 接著用數值方法去找出g在08/26 18:19

34^F→hwanger: [0,1]x[0,1]上的最小值估計以此為依據將[0,1]^2分08/26 18:21

35^F→hwanger: 成足夠小的格點並計算g在這些格點上的值利用均值08/26 18:23

36^F→hwanger: 定理在M1,M2及格點上的值做討論就可以證g不可能到008/26 18:24

37^F推hwanger: 不過如我一開始所說的這不是中學生的技巧 XD08/26 18:27

[神人] 神照片中的女優 500p

[ japanavgirls ]12 留言, 推噓總分: +5

作者: buumiaby41 - 發表於 2020/08/25 09:30(3年前)

8^F推hwanger: 很喜歡這位為什麼原po可以截到這麼這麼醜冏08/25 13:03

[線代] Unitary diagonalization

[ Math ]15 留言, 推噓總分: +5

作者: NTUmaki - 發表於 2020/08/24 23:25(3年前)

1^F→hwanger: 不行所有實對稱矩陣都是normal的但不一定是08/24 23:31

2^F→hwanger: unitary 更簡單的例子是假設A是unitary 則對所有常08/24 23:32

3^F→hwanger: 數alpha B=(alpha)A也是normal 但你再也沒有B*B=I08/24 23:33

4^F→hwanger: 簡單地說 unitary matrix是那些normal matrix滿足08/24 23:36

5^F→hwanger: 所有的eigenvalue絕對值都是1的08/24 23:37

6^F→hwanger: 但是normal matrix的eigenvalue是可以隨意的08/24 23:39

10^F推hwanger: 可以因為unitary imply normal08/25 00:16

12^F推hwanger: and normal imply unitary diagonalizable08/25 00:17

13^F推hwanger: 這章我只特別記Schur triangularization theorem 冏08/25 00:22

14^F推hwanger: 其他性質放在內積空間看都很自然08/25 00:24

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