[線代] 正交矩陣可不可以正交對角化

看板Math作者 (西木野真姬)時間5年前 (2020/08/28 21:16), 5年前編輯推噓7(7推 0噓 36→)
留言43則, 3人參與, 5年前最新討論串1/1
我學到說 A屬於複矩陣，A : normal iff A is unitary diagonalizable A屬於 實矩陣，A : symmetric iff A is orthogonal diagonalizable 想問一下 以下推論過程： 套第一條，正交矩陣的確屬於複矩陣，只是剛好元素都實數，他也是normal operator 所以可以 unitary對角化 這邊我卡住了，可以 unitary 對角化，是不是不代表可以正交對角化？ 像正交矩陣，他的特徵值可能不是實數，所以造成他可以 unitary 對角化，但不能正交對角化對不對？ （如果可以的話 會變成正交矩陣必為對稱？） ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.161.10 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1598620588.A.295.html
推
08/28 21:28, 5年前 , 1F
你可以試著證證看 a unitary diagonalizable matrix
08/28 21:28, 1F
→
08/28 21:28, 5年前 , 2F
is orthogonal diagonalizable iff all its
08/28 21:28, 2F
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08/28 21:29, 5年前 , 3F
eigenvalues are real
08/28 21:29, 3F
→
08/28 21:29, 5年前 , 4F
少一個條件 a real unitary diagonalizable matrix
08/28 21:29, 4F
→
08/28 21:30, 5年前 , 5F
is orthogonal diagonalizable iff all its
08/28 21:30, 5F
→
08/28 21:30, 5年前 , 6F
eigenvalues are real
08/28 21:30, 6F
→
08/28 21:31, 5年前 , 7F
加上你前一篇問的 a real matrix is symmetric iff
08/28 21:31, 7F
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08/28 21:32, 5年前 , 8F
x*Ax is real for all complex vectors x
08/28 21:32, 8F
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08/28 21:34, 5年前 , 9F
你已經開始把知識零散化了 而沒有串起來 冏
08/28 21:34, 9F
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08/28 21:35, 5年前 , 10F
"可以 unitary 對角化，是不是...">>>對 還要加上
08/28 21:35, 10F
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08/28 21:35, 5年前 , 11F
eigenvalue必需全為實數
08/28 21:35, 11F
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08/28 21:37, 5年前 , 12F
"像正交矩陣，他的特徵值可能不是...">>>對
08/28 21:37, 12F
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08/28 21:38, 5年前 , 13F
"如果可以的話 會變成正交矩陣必為對稱">>>對
08/28 21:38, 13F
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08/28 21:39, 5年前 , 14F
簡單來說 所有正交矩陣的集合和所有對稱矩陣的集合
08/28 21:39, 14F
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08/28 21:40, 5年前 , 15F
是兩個交集非空但互不包含的集合
08/28 21:40, 15F
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08/28 21:41, 5年前 , 16F
好的...感謝 我一直被實數複數搞混 有時候條件寫屬
08/28 21:41, 16F
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08/28 21:41, 5年前 , 17F
於複數 我就開始想說 實數是不是也可套用...但有的
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08/28 21:41, 5年前 , 18F
條件實數複數分開寫 我就又開始想 如果是實數是不是
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08/28 21:41, 5年前 , 19F
要兩種都符合
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推
08/28 21:48, 5年前 , 20F
這邊的確很多結果基本上都是針對複數的(因為任何多
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08/28 21:50, 5年前 , 21F
項式在複數都有解) 所以基本上你只要把也針對實數的
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08/28 21:51, 5年前 , 22F
結果挑出來特別看看就可以
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推
08/28 21:53, 5年前 , 23F
另外 不論是unitary decomposition或orthogonal
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08/28 21:54, 5年前 , 24F
decomposition 兩者都是eigen-decomposition的特例
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08/28 21:55, 5年前 , 25F
所以orthogonal decomposition存在的最基本條件就是
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推
08/28 21:56, 5年前 , 26F
[(0 ，1)，(-1，0)]
08/28 21:56, 26F
恩！可以unitary對角化 但eigenvector不會orthogonal但是會unitary
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08/28 21:56, 5年前 , 27F
對角化試試看？
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08/28 21:56, 5年前 , 28F
所有的eigenvalue都是實數
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08/28 21:57, 5年前 , 29F
而正交矩陣基本上就是旋轉矩陣和鏡射矩陣的合成
08/28 21:57, 29F
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08/28 21:59, 5年前 , 30F
而任一個non-trivial旋轉矩陣基本上eigenvalue不可
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08/28 22:01, 5年前 , 31F
能全是實數 比如說再二維上 你旋轉後 就沒有任何一
08/28 22:01, 31F
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08/28 22:03, 5年前 , 32F
向量被保持在同一方向或反方向了
08/28 22:03, 32F
推
08/28 22:05, 5年前 , 33F
而你一旦沒了實的eigenvector 就不會有實的eigenvle
08/28 22:05, 33F
推
08/28 22:11, 5年前 , 34F
你或許可以試著開始畫一些有關normal, Hermitian,
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08/28 22:12, 5年前 , 35F
anti-Hermitian, symmetric, skew-symmetric,
08/28 22:12, 35F
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08/28 22:13, 5年前 , 36F
unitary, orthogonal的Venn diagram 應該可以幫助你
08/28 22:13, 36F
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08/28 22:15, 5年前 , 37F
理解一些事 這邊討論的主體基本上就這些矩陣
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08/28 22:16, 5年前 , 38F
而這邊基本上只關心unitary decomposition和
08/28 22:16, 38F
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08/28 22:16, 5年前 , 39F
orthogonal decomposition而已
08/28 22:16, 39F
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08/28 22:17, 5年前 , 40F
所以性質真的不多
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推
08/28 22:27, 5年前 , 41F
如果可以 先不要和quadratic form或一些不等式作連
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08/28 22:28, 5年前 , 42F
結 先弄清這些矩陣之間的關係會比較好
08/28 22:28, 42F
※ 編輯: NTUmaki (39.8.161.10 臺灣), 08/28/2020 22:32:42
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08/28 22:33, 5年前 , 43F
好的 感謝！ 我再自己整理一下
08/28 22:33, 43F
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