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作者 hwanger 在 PTT [ Math ] 看板的留言(推文), 共4527則

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[分析] 可微性在不同運算空間之間保存?

[ Math ]100 留言, 推噓總分: +13

作者: R2003 - 發表於 2026/03/06 14:14(2月前)

87^F→hwanger: 這裡就省去用"一個空間是否完備"去深究為什麼我們大05/08 14:37

88^F→hwanger: 部份的時候只考慮 over R 或 C; 也不特別再額外去05/08 14:37

89^F→hwanger: 考慮在其他拓樸空間上的微分定義, 或者探討更一般05/08 14:37

90^F→hwanger: 的微分定義, 而只考慮僅用極限在一般的 normed spac05/08 14:37

91^F→hwanger: es 就可以定義的微分 --- Frechet differentiable05/08 14:37

92^F→hwanger: 則原問題的癥結點實際上就是 R-linear transformati05/08 14:37

93^F→hwanger: on 不見得會是 C-linear05/08 14:37

94^F→hwanger: 並且當我們思考一個實矩陣何時可以視為一個複線性05/08 14:38

95^F→hwanger: 轉換時, 就會得到這個矩陣依序分割後的 2x2 子矩陣05/08 14:38

96^F→hwanger: 必須是單位矩陣的常數倍加上一個反對稱矩陣, 這在二05/08 14:38

97^F→hwanger: 維實空間到二維實空間時即 Cauchy-Riemann equation05/08 14:38

98^F→hwanger: 題外話, 當我們的定義域和值域都是有限維空間時, 因05/08 14:39

99^F→hwanger: 為所有的 norm 都是等價的, 所以一個函數可不可微05/08 14:39

100^F→hwanger: 分和所選取的 norm 無關05/08 14:39

[幾何] 用歐拉定理不就可以證明四色定律嗎

[ Math ]94 留言, 推噓總分: +2

作者: peter0122 - 發表於 2026/05/04 10:58(5天前)

69^F→hwanger: 這裡所說的地圖就是我們印象中的地圖, 而以下所提05/08 14:17

70^F→hwanger: 到的區域都直接假設是連通的, 並全部省去精準的定義05/08 14:17

71^F→hwanger: .05/08 14:17

72^F→hwanger: 注意到原 po 用 Euler characteristic 能夠證明的05/08 14:17

73^F→hwanger: 其實是下面這個命題:05/08 14:17

74^F→hwanger: """不存在一張平面的地圖、使其圖上至少有五個區域05/08 14:18

75^F→hwanger: 彼此有鄰邊相鄰"""05/08 14:18

76^F→hwanger: 然而這個命題並不顯然地等價於四色定理05/08 14:19

77^F→hwanger: (至少不是我們一般認為的等價、而非單純只是因為兩05/08 14:19

78^F→hwanger: 者皆為真所以等價)05/08 14:19

79^F→hwanger: 原 po 證明的漏洞在於錯誤地認為下面這個敘述是可以05/08 14:20

80^F→hwanger: 簡單得到的05/08 14:20

81^F→hwanger: (*) """如果有一張地圖不存在 m=5 個區域彼此有鄰05/08 14:20

82^F→hwanger: 邊相鄰, 則這張地圖只需要 m-1 個顏色即可著色"""05/08 14:20

83^F→hwanger: 觀察到原文後半段是應用 Euler 的性質來肯定 (*)05/08 14:21

84^F→hwanger: 的前件, 而非用來證明 (*) 本身, 並且原 po 對 (*)05/08 14:21

85^F→hwanger: 的論證和 m 是否為 5 是沒有關係的.05/08 14:21

86^F→hwanger: 但是 (*) 在 m=3 和 4 時是有反例的:05/08 14:22

87^F→hwanger: 將極座標平面用 θ=0, 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/505/08 14:22

88^F→hwanger: 五條射線分成 5 塊區域, 則你在這張地圖上是找不出05/08 14:22

89^F→hwanger: 3 個區域、使得其彼此之間皆有鄰邊相鄰, 可是這張05/08 14:22

90^F→hwanger: 地圖卻仍然需要至少 3 個顏色才能著色.05/08 14:22

91^F→hwanger: 而 m=4 的反例則只需在上述地圖中心再加一個圓盤即05/08 14:23

92^F→hwanger: 可05/08 14:23

93^F→hwanger: 題外話, 或許試著思考 Alfred Kempe 的證明錯誤在05/08 14:23

94^F→hwanger: 哪, 可以幫助原 po 釐清自己的證明哪裡不足05/08 14:23

[其他] Gould's related sequence

[ Math ]12 留言, 推噓總分: 0

作者: pmove - 發表於 2025/11/06 10:28(6月前)

8^F→hwanger: https://postimg.cc/rKVz33Jv11/09 16:49

9^F→hwanger: https://postimg.cc/yD5dJdzP11/09 16:49

10^F→hwanger: https://postimg.cc/R61VbLJk11/09 16:50

11^F→hwanger: https://postimg.cc/30KJM0gv11/09 16:50

12^F→hwanger: https://postimg.cc/QVsMKwvw11/09 16:51

[中學] 請教中學數學一題證明

[ Math ]7 留言, 推噓總分: 0

作者: hahaha2009 - 發表於 2025/11/08 22:26(6月前)

1^F→hwanger: 因為 ∠AHG = (∠BAC)/2 = ∠AGH, 所以 AH = AG.11/09 15:51

2^F→hwanger: 由孟氏定理可得11/09 15:52

3^F→hwanger: (DG/AG)(AH/HB)(BF/FD)=1=(BF/FD)(CD/AC)(AE/EB)11/09 15:53

4^F→hwanger: 令 r=AH=AG 及 s=BE=CD 並代入上式整理可得11/09 15:53

5^F→hwanger: DG*(DG + r + s) = AE*(AE + r + s)11/09 15:54

6^F→hwanger: 因 f(x)=x(x+r+s) 在 x>0 嚴格遞增, 所以 AE=DG.11/09 15:55

7^F→hwanger: 故 AB = CG 且 AD = HE.11/09 15:55

[幾何] 長方體最大截面積為何?

[ Math ]8 留言, 推噓總分: +1

作者: llww - 發表於 2025/07/16 13:20(9月前)

1^F推hwanger: https://i.postimg.cc/5NZqjQxw/solution-1.png08/12 17:03

2^F→hwanger: https://i.postimg.cc/Dz7GbqRb/solution-2.png08/12 17:03

3^F→hwanger: https://i.postimg.cc/gjbLm8yJ/solution-3.png08/12 17:04

4^F→hwanger: 前兩張貼壞08/12 17:05

5^F→hwanger: https://i.postimg.cc/wMkMzPTf/solution-2.png08/12 17:05

6^F→hwanger: https://i.postimg.cc/PrtNyt2B/solution-3.png08/12 17:06

7^F→hwanger: https://i.postimg.cc/ZKVnD1Q0/solution-4.png08/12 17:07

[微積] 三次函數之切線數

[ Math ]21 留言, 推噓總分: +1

作者: tzhau - 發表於 2025/05/24 15:05(11月前)

15^F→hwanger: https://postimg.cc/YjqtMTYB05/25 14:05

16^F→hwanger: https://postimg.cc/34Nfbj4V05/25 14:06

[其他] 箱中球悖論（上）

[ Math ]103 留言, 推噓總分: +2

作者: ginstein - 發表於 2025/03/14 20:00(1年前)

68^F→hwanger: 或假設∪B_*為{1, 2, ...}或{b_1, b_2,...}04/13 15:12

58^F→hwanger: Ross-Littlewood paradox寫法的差異。04/13 15:07

34^F→hwanger: https://i.imgur.com/JkeXQ6U.png04/09 14:39

35^F→hwanger: 修正一個typo: 在第2點中的 ∃n(...) 這個式子裡04/09 19:45

36^F→hwanger: 面的集合包含要改成集合的相等04/09 19:45

103^F→hwanger: b_2,b_3,... 吧。04/13 15:28

102^F→hwanger: 象能力不足、沒辦法接受用1,2,...來代用b_104/13 15:28

101^F→hwanger: 在討論真正有意義的事。嗯，那就真的當我抽04/13 15:27

100^F→hwanger: b_2,...,b_{2n}}哪個在形式上更一般、而沒有04/13 15:27

99^F→hwanger: 讓原PO覺得我只是在計較{1,2,...,2n}和{b_104/13 15:26

98^F→hwanger: 但這些在公設集合論中稍微艱深的推導似乎只04/13 15:26

97^F→hwanger: 下，我是可以用嚴格的邏輯否定掉庚的結論，04/13 15:25

96^F→hwanger: 有我第一次回文中第一到第三段的描述的情況04/13 15:25

95^F→hwanger: 而就算我已經在兩次回文中真的多次強調在只04/13 15:25

94^F→hwanger: 我第一次回文的重點是在建立和庚一樣的論述04/13 15:24

70^F→hwanger: 從我第一次回文的第一到第三段得到和庚本質04/13 15:13

92^F→hwanger: 邏輯上推不到庚的結論，原PO卻只因我在假設04/13 15:23

47^F→hwanger: https://i.imgur.com/028GlDi.png04/11 17:09

48^F→hwanger: https://i.imgur.com/sW8STtN.png04/11 17:10

49^F→hwanger: https://i.imgur.com/1eQ3tnP.png04/11 17:10

50^F→hwanger: https://i.imgur.com/ehcrv95.png04/11 17:11

51^F→hwanger: 目前似乎只有在原PO願意嘗試理解或反駁下列04/13 14:53

52^F→hwanger: 目前似乎只有在原PO願意嘗試理解或反駁下列04/13 15:00

53^F→hwanger: 所敘述的事後，我才有可能接著解釋其它細節04/13 15:00

54^F→hwanger: 網路問題抱歉以下重打04/13 15:02

55^F→hwanger: 目前似乎只有在原PO願意嘗試理解或反駁下列04/13 15:02

56^F→hwanger: 所敘述的事後，我才有可能接著解釋其它細節04/13 15:06

57^F→hwanger: 、並討論原PO系列文中的上中兩篇和維基條目04/13 15:07

69^F→hwanger: '∪B_*可以是 uncountable的'就註定了不可能04/13 15:13

59^F→hwanger: (不過我其實已不打算再對此系列文章做任何回04/13 15:08

60^F→hwanger: 覆了；不出意外地話，這是我針對這系列文章04/13 15:08

61^F→hwanger: 的最後一次回文，抱歉)04/13 15:09

62^F→hwanger: ================================================04/13 15:09

63^F→hwanger: >>>我從來就沒有用{1,2,...,2n}和{b_1, b_2,04/13 15:10

64^F→hwanger: ..., b_{2n}}形式上的相異來說明我第一次回04/13 15:11

65^F→hwanger: 文中的第一到第三段和庚的論述的差別；我強04/13 15:11

66^F→hwanger: 調的是我們不可能只透過定義有限的{1,2,...,04/13 15:11

67^F→hwanger: 2n}或{b_1, b_2, ..., b_{2n}}來推得、定義04/13 15:12

33^F→hwanger: https://i.imgur.com/akAcblt.png04/09 14:39

32^F→hwanger: https://i.imgur.com/lgGFjmg.png04/09 14:38

93^F→hwanger: 選擇公設的前提下可以推到庚的結論，就認為04/13 15:24

71^F→hwanger: 上一樣的論述---這件事我在第二次回文中有稍04/13 15:14

72^F→hwanger: 微提到、並在最後兩次回文中都花了相當的篇04/13 15:14

73^F→hwanger: 幅說明，不是現在才臨時改口的。不知道為什04/13 15:14

74^F→hwanger: 麼原PO會覺得我只是單純糾結在{1,2,...,2n}04/13 15:15

75^F→hwanger: 和{b_1,b_2,...,b_{2n}}哪個符號孰優孰劣。04/13 15:16

76^F→hwanger: ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++04/13 15:16

77^F→hwanger: 注意到f能夠表示成某些集合的選擇函數是原問04/13 15:16

78^F→hwanger: 題本來就有所限制的，這點我在第一次回文中04/13 15:17

79^F→hwanger: 就有提到、並在第四次回文中詳細描述為什麼04/13 15:17

80^F→hwanger: f剛好是個選擇函數。但在我第一次的回文中根04/13 15:18

81^F→hwanger: 本沒有特別去強調f的存在性是重要的，並且在04/13 15:18

82^F→hwanger: 那次回文中我甚至不需要知道 f '可以是什麼'04/13 15:18

83^F→hwanger: 就可以明確地指出丙丁戊的問題點在哪。04/13 15:19

84^F→hwanger: 我不知道原PO這系列文章最終的目的是什麼，04/13 15:19

85^F→hwanger: 但我第一次回文的重點就是單純給出上篇所想04/13 15:20

86^F→hwanger: 要的解釋，即指出丙丁戊論述的缺失，理解我04/13 15:20

87^F→hwanger: 第一次回文和庚的論述的不同處，才能清楚知04/13 15:21

88^F→hwanger: 道我並不是因為支持庚的結論而在找似是而非04/13 15:21

89^F→hwanger: 的理由否定丙丁戊。04/13 15:22

90^F→hwanger: ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++04/13 15:23

91^F→hwanger: 儘管光憑第一次回文中第一到第三段的敘述在04/13 15:23

8^F→hwanger: https://i.imgur.com/zktUDXs.png03/19 15:46

10^F→hwanger: https://i.imgur.com/nFoVm2d.png03/25 17:10

11^F→hwanger: https://i.imgur.com/OMKQyuL.png03/25 17:11

12^F→hwanger: https://i.imgur.com/Eptvr83.png03/25 17:11

13^F→hwanger: https://i.imgur.com/WYvwFtb.png03/25 17:12

14^F→hwanger: https://i.imgur.com/t4bvgLa.png03/25 17:12

15^F→hwanger: https://i.imgur.com/seJo0TP.png03/25 17:13

16^F→hwanger: 第二張最後一段的第一行要改成 b in BOX_n for n l03/25 17:59

17^F→hwanger: arge enough03/25 17:59

18^F→hwanger: 補一個例子就假設類似原問題的敘述只不過現在箱子03/26 06:41

19^F→hwanger: 內是一雙襪子甲丟一隻襪子進去乙拿一隻走03/26 06:41

20^F→hwanger: 那最後箱子剩幾隻襪子03/26 06:41

21^F→hwanger: 人類對無限是很無力的要嘛你只能乖乖接受用數理邏03/26 06:45

22^F→hwanger: 輯嚴格的規範無限要嘛否定無限這個概念但永遠不要03/26 06:45

23^F→hwanger: 覺得自己理解無限03/26 06:45

24^F→hwanger: 人類永遠無法真正意義上的處理無限是我以前很喜歡03/26 06:52

25^F→hwanger: 對學生說的03/26 06:52

[分析] l^2上摺積一問 & 原文書/參考資料推薦

[ Math ]3 留言, 推噓總分: 0

作者: znmkhxrw - 發表於 2022/11/05 14:33(3年前)

1^F→hwanger: https://i.imgur.com/a2HMfaB.png11/17 14:42

2^F→hwanger: https://i.imgur.com/3IyWjXd.png11/17 14:43

3^F→hwanger: 那你自己加油吧呵11/18 20:17

[中學] 建中考題

[ Math ]93 留言, 推噓總分: +6

作者: cornerstone - 發表於 2022/10/09 11:34(3年前)

39^F→hwanger: https://imgur.com/a/HsIh7t210/11 09:06

59^F→hwanger: 並不是很重要, 不過我解法二中的 "第一位選手勝過10/11 21:21

60^F→hwanger: 第二位、第二位勝過第三位、第三位勝過第四位" 的四10/11 21:21

61^F→hwanger: 人排序關係並不是假設沒有三人迴圈才有的, 而是所10/11 21:21

62^F→hwanger: 有的對戰表都有的. 其也並非從三人對戰時、無三人迴10/11 21:21

63^F→hwanger: 圈的情況下推出來的, 實際上這才是解法二中的關鍵(R10/11 21:21

64^F→hwanger: edei's theorem), 所謂的"三勝兩勝一勝零勝" 是在確10/11 21:21

65^F→hwanger: 保有"四人排序關係"的存在性、並假設無三人迴圈後10/11 21:21

66^F→hwanger: 的立即推論.10/11 21:21

67^F→hwanger: 另外這四人排序關係只有在沒有三人迴圈下才一定與10/11 21:21

68^F→hwanger: 實際排名一致, 例如在解法一中subcase2.2, 我們是可10/11 21:21

69^F→hwanger: 以有C勝D勝A勝B這種排序關係.10/11 21:21

70^F→hwanger: 額外補充一點解法二是用圖論的基本手法證的並非是10/11 22:41

71^F→hwanger: 從三人對戰無三人迴圈的情況下再對四人對戰的情況作10/11 22:41

72^F→hwanger: 歸納的我會建議原po如果要看解法二可能就不要再去10/11 22:41

73^F→hwanger: 考慮三人對戰會發生什麼事因為解法二並沒有用到這10/11 22:41

74^F→hwanger: 件事反而只有解法一才有用到這件事10/11 22:41

75^F→hwanger: (實際上從 "先任意選三位選手" 一直到 "不失一般性"10/11 23:11

76^F→hwanger: 這裡只是照搬Redei的證明我們不需要假設無三人迴10/11 23:11

77^F→hwanger: 圈發生)10/11 23:11

78^F→hwanger: 如果可以直接用 Redei's theorem, 則我們可以直接10/11 23:18

79^F→hwanger: 證N人對戰的情況不需要什麼遞推10/11 23:18

一題根號求整數範圍

[ Math ]4 留言, 推噓總分: +2

作者: mathYU - 發表於 2022/10/07 22:28(3年前)

4^F推hwanger: https://imgur.com/epyRUEG10/11 09:08

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