[中學] 請問一題不等式競賽題

看板Math作者 (YAMASHITA)時間5年前 (2020/08/23 11:48), 編輯推噓8(8推 0噓 29→)
留言37則, 3人參與, 5年前最新討論串1/1
設a,b,c>=0，但其中最多只有一個是0。 證明：(1/(a^2+b^2))+(1/(b^2+c^2))+(1/(c^2+a^2))>=10/(a+b+c)^2 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.138.106.25 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1598154520.A.6F2.html
推
08/24 09:26, 5年前 , 1F
冏 我自己目前想不出中學生的解法
08/24 09:26, 1F
→
08/24 09:27, 5年前 , 2F
將原不等式的各分母除以a,b,c中最大的
08/24 09:27, 2F
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08/24 09:27, 5年前 , 3F
適當的移項並重令變數 則原式等價於這個函數
08/24 09:27, 3F
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08/24 09:28, 5年前 , 4F
f(x,y)=1/(x^2 + y^2)+1/(1 + y^2)+1/(x^2 + 1)-
08/24 09:28, 4F
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08/24 09:29, 5年前 , 5F
10/(x+y+1)^2 在[0,1]x[0,1]\{(0,0)}上非負
08/24 09:29, 5F
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08/24 09:30, 5年前 , 6F
因為f(x,y)→∞ as (x,y)→(0,0)
08/24 09:30, 6F
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08/24 09:30, 5年前 , 7F
所以我們只要考慮f在一個compact set E=
08/24 09:30, 7F
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08/24 09:31, 5年前 , 8F
[0,1]x[0,1]\B(0,ε)上即可
08/24 09:31, 8F
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08/24 09:31, 5年前 , 9F
但f在E的邊界上非負(這裡用一維的微積分分析即可)
08/24 09:31, 9F
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08/24 09:32, 5年前 , 10F
且grad. f在E上無解 所以f在E上恆非負(否則f在E的內
08/24 09:32, 10F
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08/24 09:33, 5年前 , 11F
點會有最小值)
08/24 09:33, 11F
推
08/24 09:53, 5年前 , 12F
這題比較麻煩的地方是等式是發生在類似A=B C=0這種
08/24 09:53, 12F
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08/24 09:53, 5年前 , 13F
地方 而不是預想的A=B=C
08/24 09:53, 13F
推
08/25 15:34, 5年前 , 14F
承樓上，花了幾粉中搞一個中學解法，但不好看
08/25 15:34, 14F
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08/25 15:39, 5年前 , 15F
記 f(a,b,c)=左式, 不妨設a>=b>=c, 花一點論證可得
08/25 15:39, 15F
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08/25 15:43, 5年前 , 16F
f(a,b,c)>=f(m,m,c), 這裡m=a+b/2. 接著記 c=mx,
08/25 15:43, 16F
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08/25 15:46, 5年前 , 17F
左減右>=1/m^2[1/2+2/(1+x^2)-10/(2+x^2)]>=0.
08/25 15:46, 17F
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08/25 15:47, 5年前 , 18F
打錯: m=(a+b)/2
08/25 15:47, 18F
推
08/25 18:32, 5年前 , 19F
我覺得r大的想法還蠻漂亮的呀 雖然不知道r大如何證
08/25 18:32, 19F
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08/25 18:33, 5年前 , 20F
f(a,b,c)>=f(m,m,c) 但我自己證這部份都只用到大一
08/25 18:33, 20F
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08/25 18:35, 5年前 , 21F
微積分的技巧 比我之前要分析二元多項式的根要基礎
08/25 18:35, 21F
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08/25 18:35, 5年前 , 22F
多了
08/25 18:35, 22F
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08/25 18:36, 5年前 , 23F
修一下r大的筆誤 應該是
08/25 18:36, 23F
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08/25 18:36, 5年前 , 24F
1/m^2[1/2+2/(1+x^2)-10/(2+x)^2]>=0
08/25 18:36, 24F
推
08/25 23:57, 5年前 , 25F
因為至少是微積分程度的解法 我先po一下自己的解法
08/25 23:57, 25F
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08/25 23:58, 5年前 , 26F
08/25 23:58, 26F
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08/25 23:59, 5年前 , 27F
08/25 23:59, 27F
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08/26 10:36, 5年前 , 28F
感謝大神解答~
08/26 10:36, 28F
推
08/26 18:11, 5年前 , 29F
不是很重要 只是以防有人想知道"grad. f在E上無解"
08/26 18:11, 29F
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08/26 18:13, 5年前 , 30F
是如何證的 令g1(x,y) g2(x,y)分別為grad. f的第一
08/26 18:13, 30F
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08/26 18:14, 5年前 , 31F
第二分量的分子多項式 則我們只需要證G=g1^2+g2^2在
08/26 18:14, 31F
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08/26 18:16, 5年前 , 32F
[0,1]x[0,1]上無解就可以了 先找出grad. g第一第二
08/26 18:16, 32F
推
08/26 18:19, 5年前 , 33F
分量絕對值的上界M1,M2 接著用數值方法去找出g在
08/26 18:19, 33F
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08/26 18:21, 5年前 , 34F
[0,1]x[0,1]上的最小值估計 以此為依據將[0,1]^2分
08/26 18:21, 34F
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08/26 18:23, 5年前 , 35F
成足夠小的格點 並計算g在這些格點上的值 利用均值
08/26 18:23, 35F
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08/26 18:24, 5年前 , 36F
定理在M1,M2及格點上的值做討論 就可以證g不可能到0
08/26 18:24, 36F
推
08/26 18:27, 5年前 , 37F
不過如我一開始所說的 這不是中學生的技巧 XD
08/26 18:27, 37F
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