Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者Hyuui (修)時間11年前 (2014/05/30 09:01)推噓7(7推 0噓 17→)

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我在之前的文章中，證明了Zeta函數的解析延拓。 http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html 如果只要求證明解析延拓的話，不需要算出過程中一些係數的確切值。也不需要動什麼奇怪手術，所以我那篇文章非常簡短。而這篇文章要證明以下式子： Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1) 其中B_n為Bernoulli number。這會稍微複雜一點，但也不是很困難的事。而且有了該式，我們顯然可得： Zeta{0} = B_1 = -1/2 = 1 + 1 + 1 + ... Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12 = 1 + 2 + 3 + ... 注意：嚴格來說，解析延拓的Zeta函數在拓展後的定義域中，其實已經不是 Sum{1/n^z} 的形式了。所以上述兩式等於後半的發散級數，其實並不嚴謹。 ── 1. 我在之前的文章提到：把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。 1 / (e^t -1) = 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ... 如果真的去計算那些係數(依照Laurent展開的定義即可)，會得到以下結果： a_0 = -1/2 a_(2k) = 0 a_(2k-1) = B_2k / (2k)! 這裡的B_n稱為Bernoulli number，其中一種定義方式即為： t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! } 且從上述的計算可知，B_n在 n>1 時的奇數項皆為0 所以 t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } 做個簡單的多項式積分： Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt = Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt = Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) } 它的前幾項是： k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1) k=1, B_1 / t = -1 / (2t) k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1) k=3或更大的奇數, 0 k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3) k=6, ... (省略) 注意到前三項就是Chatterly的「手術」亂湊出的項，但這是錯的。因為這三項根本就是第一個積分的一部分，要寫也沒寫完。 // Chatterly：鄉民只要記得,這裡最大的關鍵的數學家機密就是我6月15號要公布我的計算過程重點是做手術重點是做手術 -> 手術結果就是在下面上色的重點是做手術重點是做手術 --- s-1 1 s-1 ∞ z 1 z 1 1 1 Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ---- + ------ 0 z 0 z e -1 e -1 s-1 2s 12(s+1) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 手術在這裡,媽,我阿榮啊我剛手術完要吃鐵牛運功散啦 s-1 ∞ z +∫ ------- dz + z 1 e -1 // (他PO在八卦板補上鐵牛運功散的上色版本比較好笑。XD) 所以手術失敗，患者宣告不治。別說鐵牛運功散了，連生生造化丹都救不了你。而且你知道嗎？ ξ叫作"xi"，ζ才叫作"zeta"，又是一個BUG。為了避免讀者混淆，我將正確的式子再寫一次： s-1 s-1 s-1 ∞ z 1 z ∞ z Γ(s)ζ(s)= ∫ ------ dz = ∫ ------ dz + ∫ ------ dz 0 z 0 z 1 z e -1 e -1 e -1 即是我之前文章中寫的： Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt Zeta {z} = 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt = 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 請注意，z=1是極點，但該點並不影響積分，不需要做什麼手術避開。 ── 2. 在以下這篇文章中，給出了Zeta{-n}的計算方法。 zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 | 法蘭克的數學世界 http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta與gamma函數ii-zeta的解析延拓/ 印象中，這應該是Ahlfors的證法。我想用另外一個方法教大家計算Zeta函數在整數點的值。複習一下sin{x}的連乘積表示法： sin{x} = x * Pro_n=1~∞ { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) } 故 z * Cot{z} = z * ( Cos{z} / Sin{z} ) = z * d/dz ln{ sin{z} } = 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) } = 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] } = 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } } = 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) } = 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) } 注意到式中已經出現 Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k} 考慮另一種展開： z * Cot{z} = z * ( Cos{z} / Sin{z} ) = iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)] = iz + 2iz / [e^(2iz) -1] = 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! } 比較係數後可得： Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)! ── 3. 接下來，假設大家知道Riemann functional equation： Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z} 為避免篇幅過長，此處將證明略去，有興趣可自行參考複變課本。當 z=-2k+1 Zeta{-2k+1} = 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k} = 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k} 我們已經知道： Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)! 代入做整理： Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k 最後可得： k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12 k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2 Q.E.D. Enjoy it! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.224.72.154 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401411700.A.A84.html

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jacky7987

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