Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

看板Math作者yueayase (scrya)時間10年前 (2015/02/22 04:56)推噓4(4推 0噓 34→)

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觀看這一連串討論文，提出一些感想: (1) 若先用圓面積公式，推出sinx/x->1 as x->0，再用 r 2 2 2 2∫(r-x)dx 和三角代換法(or反導函數有arcsin)求出πr 有循環論證問題 -r 這是對的，因為三角代換過程中一定會令x=rsinx => dx = rcosx dx 用了sin'x=cosx ，但我們是用面積導出sinx/x->，再利用和角公式導出sin'x=cosx 所以這樣做，等於繞了一圈回到原點 (2) 用ODE or power series去證明sinx/x，和角公式，正弦、餘弦定理，當然是沒有問題，也很嚴謹，只是不是很直觀，不太像是從高中升上來的人能接受做法，所以一般初微的書很少用這種方式做，但也造成了這種陷入循環論證的困擾 http://ppt.cc/iq5C (第35題，應該是Steward Calculus，下面真的用三角代換法去證明扇形面積了...) **以上我誤會了，Steward Calculus用弧長去證明... 所以用三角代換證圓面積應該是沒有太大問題... 但是若用到sin'=cos證明圓周長就會有循環論證的問題** (3) http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/page2.html 應該就是用多邊形夾擠出來的做法了，因為我自己想不出來，所以也無從評論 R (4) ∫ 2πr dr 乍看之下的確是黎曼和切切割割得出來的(圓)面積 0 但我想問題在於這種分割法可能的問題是它和rectangle分割出的面積是否一樣? 這種切法其實是取一小段弧長和徑向的一小個線段所形成的區域而當初在學黎曼合時應該是用rectangle這種四四方方的區域其實這shell method其實應該是從 R 2π ∫∫ dθdr 來的 0 0 它是極座標下的積分，不是直角坐標系下的積分所以中間一定會有某種線性變換(就是Jacobian，其實中間的Jacobian有用到sin cos的微分) 所以這就是為什麼這樣做會被質疑用到sin'=cos的原因 2 (5)但我覺得若只是evaluate ∫√(1-x )dx = ? or 求arcsinx微分用三角代換應該不至於有循環論證問題，因為你還是可以從面積出發 => sinx/x的極限 => sin'=cos => 利用三角代換求上面的積分 or 反函數定理求arcsinx微分但是若是用積分求面積，我覺得sorry，十之八九都脫離不了循環論證的問題 (6)若真要follow從面積出發的話，我覺得可能只能如(3)連結用幾何的方式和sequence 的觀念去導圓面積公式了，不然就只有想辦法去找出面積公式和sinx/x(or sin'=cos) 之間的等價關係了奇怪了，原本只是問有沒有其他不用面積求sinx/x之極限，怎麼會變成爭論sin = Sin cos=Cos， shell method是否直觀這種問題呢XD 今天我居然發這廢文真是不好意思 ~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.227.228.40 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424552192.A.63F.html ※ 編輯: yueayase (61.227.228.40), 02/22/2015 05:02:20 ※ 編輯: yueayase (61.227.228.40), 02/22/2015 05:02:49

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