作者查詢 / hwanger
作者 hwanger 在 PTT 全部看板的留言(推文), 共4432則
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看板排序：
1F→: 簡單地說 就是雖然我們的model是實數 但我們只限定11/17 22:00
2F→: 用一階的語言來描述實數 導致雖然我們的model包含實11/17 22:02
3F→: 自然數 但僅從公設集是推不出Peano算術系統的11/17 22:04
4F→: 1. 一個完整的公理體系包含了兩個部份: model和用來11/17 22:05
5F→: 描述他的語言(wff, 公設集和rules of inference)11/17 22:07
6F→: 其中公設集是儘可能的搜集我們認為model會符合的"基11/17 22:08
7F→: 本"特質11/17 22:09
8F→: 2. 實際上Tarski做的事是找出了Tarski's axioms for11/17 22:11
9F→: Euclidean geometry 並證明了這套公設集是一階完備11/17 22:12
10F→: 的 只不過我們可以證Real closed field理論可以等價11/17 22:13
11F→: 於這套公設集11/17 22:14
12F→: 3. 要建立一個完整以real numbers為宇集的公理體系11/17 22:17
13F→: 需要用到二階語言(因為我們需要least upper bound11/17 22:18
14F→: property) 而closed real field雖然以實數集為宇集11/17 22:20
15F→: 但公設集的語言卻只限定在一階語言上 所以很多原本11/17 22:24
16F→: 我們認為實數會有的性質 在closed real field上是推11/17 22:25
17F→: 不出來的11/17 22:25
18F→: 4. 我們現在只用一階語言來看closed real field 則11/17 22:28
19F→: 我們是無法像平常一樣定義inductive set 也就是我們11/17 22:29
20F→: 無法定義自然數 (例如在Apostol的Mathematical11/17 22:31
21F→: Analysis中 自然數就是定義成最小的inductive set)11/17 22:31
22F→: 5. 滿足closed real field的model不只一種(up to11/17 22:35
23F→: isomorphism) 這其實也證明了least upper bound11/17 22:36
24F→: property只能用二階語言描述11/17 22:37
25F→: 6. 雖然closed real field是一階完備, 一致且可有效11/17 22:40
26F→: 判定公設的公理體系 但因為無法描述least upper11/17 22:42
27F→: bound property 所以在分析(一個數學分支)上並沒有11/17 22:43
28F→: 什麼卵用 他的相關研究主要在高等代數中11/17 22:44
29F→: 上面closed real field是typo 應該是real closed11/17 22:50
30F→: field才對 抱歉11/17 22:51
31F→: 7. 再補充一點 以我們對fields的知識 我們其實可以11/17 23:11
32F→: 看出所有滿足real closed field的model都必然包含自11/17 23:11
33F→: 然數11/17 23:12
3F→: 不是很懂為何a^2+2*a=2^n+2^8可以推到 a^2=2^n 或11/17 21:58
4F→: a^2=2^8這兩個式子11/17 21:58
1F→: 提供一個用微積分的作法 兩邊平方會得到一個x的二次11/17 18:29
2F→: 式 則x要有實數解推得判別式>=0 即11/17 18:30
3F→: -16y+64√y+16>=0 推得 0 <= y <=9 + 4√511/17 18:33
4F→: 考慮二次式公式解 則x可以視作y的函數 由極值定理可11/17 18:34
5F→: 知x(y)在 [0,9+4√5]上有極值 且由中間值定理可知x11/17 18:36
6F→: 的範圍介於極值之間 用隱函數定理算dx/dy=0會得到11/17 18:37
7F→: 4x=5y 並進一步推得x=20是極大值 而x=0是極小值是顯11/17 18:39
8F→: 然的 所以 0<= x <=2011/17 18:40
6F→: 不是很重要 雖然原PO洋洋灑灑列了這麼多東西 但如果11/16 21:33
7F→: 我們將數學系大學部可以學的 再加上一門工程數學 則11/16 21:34
8F→: 在將這些視作基礎數學的情況下 原PO所列舉的只佔 甚11/16 21:37
9F→: 至不到一半而已(如果只單看計算能力 那就更少了)11/16 21:38
10F→: 最簡單的看法 就是去看各大出版社針對數學系大學部11/16 21:40
11F→: 所出的書(例如Springer的UTX系列)11/16 21:41
12F→: 而這還只是基礎數學而已11/16 21:43
13F→: 冏11/17 18:27
2F→: 找不到勘誤表 不過應該是11/16 18:51
3F→: A(x)=t[b_2-x/(L/2)*(b_2-b_B)] 然後δ_c怎麼積11/16 18:52
4F→: δ_B就怎麼積 關於A(x) 詳情問你的課堂老師比較好11/16 18:53
5F→: 這樣j大技巧就可以了 例如δ_C 令u=A(x) 則11/16 19:03
6F→: du = -(b_2-b_1)/L dx 則dx= -L/(b_2-b_1) du11/16 19:05
7F→: 這裡δ_B和δ_C用的A(x)不一樣 且δ_B用的A(x)應該11/16 19:06
8F→: 修正成我上面說的(?)11/16 19:07
9F→: 我上面少乘一個t 應該是du = -(b_2-b_1)t/L dx11/16 19:08
2F→: https://imgur.com/a/4UModBU11/13 14:43
3F→: 將這兩線段AB, CD擺平行 連AC, BD交於E 則對於所有11/13 14:46
4F→: 在線段CD上的點G 都恰好一個在AB線段上的點F落在EG11/13 14:47
5F→: 直線上 這種關係形成一種一一對應(1-111/13 14:50
6F→: correspondence) 所以點的個數一樣多11/13 14:51
7F→: 重點在每一點F和每一點G之間的對應關係11/13 14:53
12F→: 如果只是要說明"一樣多" 在國中的階段 只需要感覺如11/13 18:42
13F→: 果我們可以在兩個集合中找到一個一對一不遺漏的配對11/13 18:43
14F→: 方式的話 就是數學上的一樣多即可 接著再補充說明在11/13 18:44
15F→: 無限集 就算是一樣多 也還是有可能存在一對一但有遺11/13 18:46
16F→: 漏的配對方式11/13 18:47
15F→: 不是很重要 不過超運算和迭代冪次是計算理論的子課11/13 17:45
16F→: 題 不是什麼這類方程的完整理論 本身也不討論這類方11/13 17:46
17F→: 程的解 更無法用來證明原方程沒有elementary11/13 17:49
18F→: function代特定值的解11/13 17:50
19F→: 可能可以考慮迭代冪次在實數上的extension 但用的理11/13 17:52
20F→: 論已經和原本超運算不一樣了11/13 17:53
21F→: 如果只是要計算數值解 SageMath就可以算了 大約是11/13 17:54
22F→: 1.28014582141609411/13 17:55
23F→: 不過關於有沒有elementary function代特定值的解 目11/13 17:56
24F→: 前沒有想法11/13 17:56
25F→: 而關於迭代冪次不是研究這類方程的理論 最簡單的看11/13 18:01
26F→: 法就是Tetration是一個recursive function 只定義在11/13 18:04
27F→: 自然數上11/13 18:06
28F→: Ok 是我將超運算和計算理論中的某些理論搞混了 請忽11/13 18:37
29F→: 視我上面說的東西 抱歉11/13 18:37
10F→: 我想你所說的1+1=2並不是拘泥於文字表象的式子 而是11/11 00:39
11F→: 真的有關自然數本身的內在性質11/11 00:39
12F→: 首先先澄清幾件事11/11 00:40
13F→: 第一 Peano axioms並不是用來定義自然數是什麼的 他11/11 00:40
14F→: 只能用來描述自然數該有什麼樣子 自然數本身的存在11/11 00:41
15F→: 是先於描述他的公設集 不管自然數本身是不是先驗存11/11 00:41
16F→: 在的11/11 00:42
17F→: (簡單的說 若自然數可以用Peano axioms來定義的 那11/11 00:42
18F→: 我們也不用苦惱於不完備定理 反正真理就是有缺陷的)11/11 00:43
19F→: 第二 就算自然數是用Peano axioms來定義的 如果我們11/11 00:44
20F→: 認為Peano axioms及其隨後所用的logic是真理 那推出11/11 00:44
21F→: 來的東西自然也是真理11/11 00:44
22F→: 第三 假設我們認知自然數是先驗存在的 那"1+1=2"這11/11 00:46
23F→: 個式子就只是用來借代自然數某些性質的語言罷了 任11/11 00:46
24F→: 何在其他體系的1+1等於多少的敘述其實都和我們考慮11/11 00:46
25F→: 自然數的情況無關11/11 00:47
26F→: 而至於1+1=2(用來描述自然數性質的式子)是不是真理11/11 00:48
27F→: 就我的觀點是尚且無法論證 因為我們並不知道真理是11/11 00:48
28F→: 什麼 具有什麼形式 該有什麼意涵11/11 00:49
29F→: 最多最多我只能說1+1=2是一個廣泛被認知到的事情 如11/11 00:50
30F→: 此而已11/11 00:51
31F→: 總結來說 如果只是將1+1視作兩個運算元和一個運算子11/11 01:00
32F→: 那不管擺在哪個體系講 都終究只是形式上的語言 不太11/11 01:02
33F→: 有任何意義 而如果是將1+1=2視作一個自然數的某一性11/11 01:03
34F→: 質的描述 那的確可以開始考慮其是否為真理11/11 01:04
60F→: 不是很重要 只是對我前述第一點的補充11/11 21:03
61F→: 一個"實體"和"描述這個實體的語言"是不一樣的事情11/11 21:03
62F→: 這就像這個宇宙的存在 並不是因我們用經典力學 量子11/11 21:04
63F→: 力學或相對論來描述來保證(當然這個宇宙是不是因我11/11 21:04
64F→: 們的感知才存在這仍然是懸而未解的自然哲學題目)11/11 21:04
65F→: 同樣地在數理邏輯中 model的存在並不是依賴於你依11/11 21:05
66F→: model所刻劃的公設集及邏輯系統而定的11/11 21:05
67F→: 而自然數不管是被認為成一種可遞迴、無限集的先驗存11/11 21:06
68F→: 在 或者一種cardinal numbers 或者一種ordinal11/11 21:06
69F→: number 其存在性是被我們廣泛認知到的 而不是用11/11 21:06
70F→: Peano axioms來保證的 我們也不是透過信仰Peano11/11 21:07
71F→: axioms來確定自然數存在的11/11 21:07
72F→: 如果數學的本質是沒有內容的文字遊戲 那同樣地所有11/11 21:07
73F→: 自然哲學的分支都是 因為我們都是試圖用人類的"語言11/11 21:09
74F→: (這裡不是指中文 英文這種東西 而是語言的概念)"企11/11 21:09
75F→: 圖去描述我們所認知的存在的實體11/11 21:09
76F→: (這裡其實對應到Einstein的一句話 "The most11/11 21:12
77F→: incomprehensible thing about the universe is11/11 21:12
78F→: that it is comprehensible")11/11 21:13
79F→: 而就像"有質量的物體之間存在某種東西"是對宇宙一個11/11 21:15
80F→: 性質的描述一樣 "1+1=2"也是對"自然數"這個實體的一11/11 21:15
81F→: 個性質的描述11/11 21:15
82F→: 而就像"有質量的物體之間存在某種東西"可以被其他更11/11 21:20
83F→: 基本的物理定律來推導一樣 "1+1=2"可以被人為的公設11/11 21:21
84F→: 所推導 但這些畢竟都是人為試圖簡約的結果 這兩個性11/11 21:24
85F→: 質在各自存在的實體中 是不是"被推導出來的"仍是我11/11 21:25
86F→: 們無法判斷的問題11/11 21:25
87F→: 當然"自然數"的存在性本身就是一個哲學問題 畢竟他11/11 21:34
88F→: 很難用我們的"感官"察覺出來 而這也是一些偉大的自11/11 21:35
89F→: 然哲學家試圖解決的問題11/11 21:36
90F→: 而那些對"自然數的存在性"持有保留態度的人 仍然是11/11 21:42
91F→: 可以用Peano axioms做形式上的推導 畢竟這就只是一11/11 21:44
92F→: 個一致的邏輯系統 部份的人是質疑自然數的存在性 但11/11 21:45
93F→: 這之中更多的人是質疑Peano axioms是否真的描述了自11/11 21:46
94F→: 然數但並不質疑自然數的存在11/11 21:47
95F→: 而更多的是偏實用主義的 反正我就有一個一致的邏輯11/11 22:00
96F→: 系統了 反正用就對了11/11 22:02
99F→: 但不管怎樣 把數學的本質等同於邏輯的形式推衍 這個11/11 22:08
100F→: 觀點本身是有點問題的11/11 22:09
102F→: 如V大所述 所以"自然數的存在性"才會變成一個形而上11/11 22:10
103F→: 的問題11/11 22:11
104F→: ...初音只是個軟體...11/11 22:12
117F→: 第一 自然數的存在性雖然我們不清楚是不是這宇宙的11/12 08:40
118F→: 一部份 但自然數的存在性的確先於用於描述他的公設11/12 08:40
119F→: 集及邏輯系統(例如Peano axioms) 這部份才是對應到11/12 08:40
120F→: 宇宙的存在先於描述他的物理學11/12 08:41
121F→: 第二 我從來就沒把公設集當作真理看待 我之前論述的11/12 08:41
122F→: 第二點是為了戳破那些把Peano axioms就當作是自然數11/12 08:41
123F→: 的人的美好幻想 但我在那之前是有第一點的11/12 08:42
124F→: 而正如我之前論述的第一點所提到的 人類的邏輯系統11/12 08:42
125F→: 是有缺陷的 那我們就更不可能將Peano axioms視作真11/12 08:43
126F→: 理 或視作自然數的代名詞11/12 08:44
127F→: 第三 現時的數學和物理學都是偏實用主義的 也都企圖11/12 08:44
128F→: 用人類的語言去描述人類所認知的實體 而"數理邏輯"11/12 08:45
129F→: 和"物理的公式"就是你口中的螺絲起子 我們用螺絲起11/12 08:45
130F→: 子就可以做很多事 但你既自封為物理人 當然知道物理11/12 08:45
131F→: 學是擁有更多哲學意涵的 同樣地數學本身也不是單純11/12 08:46
132F→: 的"公設集及其邏輯系統" 數學本身也蘊藏大量哲學意11/12 08:46
133F→: 涵 所以我們才有辦法"選擇相信什麼 不相信什麼" 就11/12 08:46
134F→: 像Einstein"不相信"上帝會擲骰子一樣11/12 08:46
135F→: 你的數學只到實用主義的部份 就認為數學的全部就這11/12 08:47
136F→: 樣了 就跟那些認為物理就只是一堆公式的集合的人的11/12 08:47
137F→: 想法是一樣的11/12 08:47
138F→: 第四 自然數不是人造的語言 他也是有被其他生物認知11/12 08:48
139F→: 到的(一些較高等的動物至少已經可以區別1和2) 是已11/12 08:49
140F→: 經有實驗證明的 宇宙的存在和自然數的存在都是形而11/12 08:49
141F→: 上的問題 而我採取的態度是兩者都是存在的 不管人類11/12 08:49
142F→: 有沒有意識到這兩者的存在 所以宇宙不會因有沒有物11/12 08:50
143F→: 理學而有時存在有時不存在 並且自然數也不會因有沒11/12 08:50
144F→: 有Peano axioms而有時存在 有時不存在11/12 08:50
145F→: 第五 如我之前所述 我認為人類還沒有發展到可以知道11/12 08:51
146F→: "真理是什麼 該有什麼形式 具有什麼意涵"的地步 所11/12 08:52
147F→: 以"人類可能可以理解這個宇宙(也就是物理學)"和11/12 08:52
148F→: "1+1=2"對我而言是一樣的 都是廣泛被認知到的事而已11/12 08:52
149F→: 不要說的好像我在判斷什麼該是真理 什麼不該是真理11/12 08:53
150F→: 一樣11/12 08:53
151F→: "「反正某個東西就是存在嘛，不...">>>你可能遇到很11/12 08:56
153F→: 多偏實用主義的人是持這個態度在看數學的 但很可惜11/12 08:56
155F→: 我不是 還是你認為我講這麼多東西是在附和其他人?11/12 08:56
157F→: "人類確定自己手上的螺絲起子...">>>我對"用Peano11/12 08:57
158F→: axioms研究自然數"和"用物理學研究宇宙"是持一樣的11/12 08:57
159F→: 度 就是如我之前所述 "實體"和"描述這個實體的語言"11/12 08:58
160F→: 的區別 你為何會有"我在無限上綱我們用的語言是真理11/12 08:58
161F→: "這個幻覺 是在睡覺中夢到的嗎?11/12 08:58
179F→: T大你說的沒錯 我們可能無法脫離Peano axioms來描述11/12 21:51
180F→: 自然數 在實務上也不必作區分 但既然我們現在是問更11/12 21:52
181F→: 基本的哲學意涵 本來就有區分"實體"和"描述實體的語11/12 21:53
182F→: 言"的必要 因為這兩者的哲學意涵完全不同11/12 21:55
183F→: 另外不是很重要 你想說的應該是reference和object的11/12 21:57
184F→: 差別吧 畢竟pointer是需要取值運算子的11/12 21:59
185F→: 但不管如何他們終究是不同的概念 只是實務上有時不11/12 22:00
186F→: 需要區別而已11/12 22:00
187F→: 而另外我不是很明白你說的characterization是指什麼11/12 22:04
188F→: https://reurl.cc/e8AYbW11/12 22:04
189F→: 我所認知的characterization是如上面wiki所述的 是11/12 22:06
190F→: 一種在邏輯體系內的操作 這和將model公設化的過程是11/12 22:06
191F→: 不太一樣的11/12 22:07
192F→: 然後我不是很懂日蝕的例子是想表達什麼11/12 22:19
1F→: 假設大圓圓心O1 半徑R 小圓圓心O2 半徑r 以O1O2為直11/11 00:15
2F→: 徑做圓O3 在圓O3上取一點A使得AO1=R-r AO1延伸交圓11/11 00:19
3F→: O1於B 過O2作AB平行線交圓O2於C 則BC為外切線11/11 00:20
5F→: 在圓O3上取一點E使得EO2=R+r EO2交圓O3於F 過O1作EF11/11 00:22
6F→: 平行線交圓O1於H 則FH為內切線11/11 00:23
7F→: 先等一下 我錯誤理解題目了 我做成切線了11/11 00:24
8F→: 做O1O2延伸線 依序交圓O1圓O2於A,B,C,D四點 以AD為11/11 00:27
9F→: 半徑做圓就是外切圓 以BC為半徑做圓就是內切圓11/11 00:27
10F→: 至於要做指定半徑s的外接圓 就以O1為圓心R-s為半徑11/11 00:31
11F→: 打錯 s-R為半徑畫圓 並以O2為圓心 s-r為半徑畫圓 兩11/11 00:33
12F→: 圓交點即為外切圓圓心11/11 00:34
13F→: 而要做指定半徑q的外切圓 就以O1為圓心R+s為半徑畫11/11 00:36
14F→: 圓 並以O2為圓心s+r為半徑畫圓 兩圓交點即為圓心11/11 00:37
15F→: 我好像把外切圓和內切圓兩個名詞搞混了 冏11/11 00:38
1F→: 基本上判定兩個函數相似程度大部份都是取一個特別的11/09 21:00
2F→: norm 常見的norm有L^2 norm, sup norm,或取有限個具11/09 21:01
3F→: 有代表性的點作有限維的norm 具體而言視你的需求而11/09 21:02
4F→: 定11/09 21:05
5F→: 1. 在bounded set上 你可以先將f和g減去平均後得f',11/09 21:06
6F→: g' 再考慮∫|f'-g'|^2 值越小越"相似"11/09 21:08
7F→: 2. 對f,g個別微分並配平方得 a1*(x-c1)^2+b1,11/09 21:12
8F→: a2*(x-c2)^2+b2 再考慮(a1,b1)和(a2,b2)的距離 這樣11/09 21:13
9F→: 考慮的好處在於距離為0 若且唯若 我們可以透過上下11/09 21:15
10F→: 左右的平移將f的圖形重合到g上11/09 21:16
12F→: 3. 考慮曲率函數 這部份比較麻煩 所以略過 XD11/09 21:21
14F→: XD 我其實是用微分方程的想法 不過泰勒展開式的想法11/10 11:08
15F→: 好像更好 將f,g對適當的點展開得11/10 11:08
16F→: a1(x-c1)^3+b1(x-c1)+d1 和 a2(x-c2)^3+b2(x-c2)+d211/10 11:08
17F→: 再比較(a1,b1),(a2,b2)距離11/10 11:08