[中學] 2^n+2^8+1=x^2 的正整數解

看板Math作者 (algebraic)時間3年前 (2020/11/17 19:39), 3年前編輯推噓7(8推 1噓 16→)
留言25則, 8人參與, 3年前最新討論串1/1
如題 已知 2^n + 2^8 + 1 = x^2 的正整數解有兩組 n = 5 時，x = 2^4+1 n = 14 時，x = 2^7+1 我想請問要怎麼證明只有這兩組解? n為偶數的時候我有想法，而且也證的出來 n為奇數時我實在是不知道該怎麼做 或許很簡單，只是我沒看到那條路而已? 有什麼想法還煩請各位指教了 謝謝! 有沒有正整數解的八卦? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.195.202 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1605613146.A.F18.html
推
11/17 20:44, 3年前 , 1F
x=a+1, 第一種a^2=2^n , 第二種a^2=2^8
11/17 20:44, 1F
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11/17 20:45, 3年前 , 2F
假設x=a+1啦~
11/17 20:45, 2F
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11/17 21:58, 3年前 , 3F
不是很懂為何a^2+2*a=2^n+2^8可以推到 a^2=2^n 或
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11/17 21:58, 3年前 , 4F
a^2=2^8這兩個式子
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推
11/17 21:59, 3年前 , 5F
這之前有人問過等價的問題，沒人解出
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11/17 22:00, 3年前 , 6F
11/17 22:00, 6F
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11/17 22:00, 3年前 , 7F
tml
11/17 22:00, 7F
我的題目來源跟網址內的題目來源，應該是同一個沒錯 只是我把題目做了一些變換，才丟上來問的 不過沒想到的是，原來那時候大家也沒有解出來 我想原出題者應該自己也沒有注意到，怎麼證只有這兩個解吧 總之我大概知道，這似乎是一個很non-trivial的問題了 只能說數論就是這樣吧!
推
11/17 22:06, 3年前 , 8F
11/17 22:06, 8F
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11/17 22:06, 3年前 , 9F
不知這樣算不算@@
11/17 22:06, 9F
推
11/17 22:34, 3年前 , 10F
樓上是對的
11/17 22:34, 10F
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11/17 22:35, 3年前 , 11F
等等，不是，因為2^(n-8)+1還可以分解
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11/17 22:35, 3年前 , 12F
所以有機會K=2^8*P, L=Q, PQ=2^(n-8)+1
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推
11/17 22:37, 3年前 , 13F
2數差1
11/17 22:37, 13F
噓
11/17 22:45, 3年前 , 14F
K偶L奇，所以還是有機會的。2^m+1這種東西因數常常
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11/17 22:45, 3年前 , 15F
還滿多的
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推
11/17 22:48, 3年前 , 16F
誤噓抱歉
11/17 22:48, 16F
※ 編輯: algebraic (220.136.195.202 臺灣), 11/17/2020 22:58:16
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11/18 00:18, 3年前 , 17F
只用模2的power做不出來，因為有hensel lemma
11/18 00:18, 17F
推
11/18 05:18, 3年前 , 18F
n = 2k+1, 設 y = 2^k 會有 257 = x^2 - 2y^2
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11/18 05:18, 3年前 , 19F
可解得 (x,y) = T^m (17, +-4)
11/18 05:18, 19F
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11/18 05:19, 3年前 , 20F
T = [[3,4],[2,3]], pell's equation 的解
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11/18 05:19, 3年前 , 21F
然而沒法確定 y 是不是 2-power
11/18 05:19, 21F
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11/18 05:20, 3年前 , 22F
同樣是因為 hensel lemma 的問題
11/18 05:20, 22F
推
11/18 11:08, 3年前 , 23F
11/18 11:08, 23F
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11/18 11:08, 3年前 , 24F
不知道這樣可不可行
11/18 11:08, 24F
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11/18 11:10, 3年前 , 25F
啊啊 不行 沒有偶數一定是2的次方的保證
11/18 11:10, 25F
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