[代數] 包含自然數 但不足以定義自然數？

看板Math作者 (達)時間3年前 (2020/11/17 21:31), 編輯推噓0(0推 0噓 33→)
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另外，對於一些也很複雜的公理體系，如果其不足以定義自然數，哪怕這樣的公理體系包 含了自然數，也可能不受“哥德爾不完備定理”的約束。比如，塔斯基（Tarski）證明了 實數和複數理論都是一致且完備的一階公理體系，雖然它們都包括了自然數。 https://weiwenku.net/d/109921062 包含自然數 但不足以定義自然數 這是什麼意思？ thanks -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 107.161.88.23 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1605619904.A.8EC.html
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簡單地說 就是雖然我們的model是實數 但我們只限定
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用一階的語言來描述實數 導致雖然我們的model包含實
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自然數 但僅從公設集是推不出Peano算術系統的
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1. 一個完整的公理體系包含了兩個部份: model和用來
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描述他的語言(wff, 公設集和rules of inference)
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其中公設集是儘可能的搜集我們認為model會符合的"基
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本"特質
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2. 實際上Tarski做的事是找出了Tarski's axioms for
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Euclidean geometry 並證明了這套公設集是一階完備
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的 只不過我們可以證Real closed field理論可以等價
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於這套公設集
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3. 要建立一個完整以real numbers為宇集的公理體系
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需要用到二階語言(因為我們需要least upper bound
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property) 而closed real field雖然以實數集為宇集
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但公設集的語言卻只限定在一階語言上 所以很多原本
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我們認為實數會有的性質 在closed real field上是推
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不出來的
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4. 我們現在只用一階語言來看closed real field 則
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我們是無法像平常一樣定義inductive set 也就是我們
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無法定義自然數 (例如在Apostol的Mathematical
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Analysis中 自然數就是定義成最小的inductive set)
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5. 滿足closed real field的model不只一種(up to
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isomorphism) 這其實也證明了least upper bound
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property只能用二階語言描述
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6. 雖然closed real field是一階完備, 一致且可有效
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判定公設的公理體系 但因為無法描述least upper
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bound property 所以在分析(一個數學分支)上並沒有
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什麼卵用 他的相關研究主要在高等代數中
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上面closed real field是typo 應該是real closed
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field才對 抱歉
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7. 再補充一點 以我們對fields的知識 我們其實可以
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看出所有滿足real closed field的model都必然包含自
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然數
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