Re: [求助] 高中指數

看板tutor作者diego99 (誰是我的小天使？！)時間10年前 (2013/11/08 23:52)推噓6(6推 0噓 73→)

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抱歉因一時不查，誤以為推文被刪，先特別向你抱歉。我稍作整理如下。 ※ 引述《jollic (jollic)》之銘言： : 標題: Re: [求助] 高中指數 : 時間: Thu Nov 7 00:42:31 2013 : : 5.想法：我知道有理指數的底數不可為負 : : 但我計算的結果: : : 1.(-2)6次方 = 64 : : 此步驟的問題在，當a = -2 < 0 , n = 1/2 in Q 時 : : a^n 本身即不合定義了， (a^n)^12 = a^(n*12) 此指數律根本就有問題 : : : 2.(根號2*i)12次方 = 64*1 = 64 : : 根號2*i = 根號(-2) , 而 (-2)^(1/2) 並沒有定義成根號(-2)，所以有問題 : : : 3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根號4)12次方=64 : : 同樣地，底數為負的時候，未定義，因此此式依然有問題 : : : 都是 64 > 0 : 以上我沒反對過，原始推文，我就很單純的問你「沒定義會有問題，你會告訴學生問題在哪嗎？」 : : 並且依照這樣的認知下 : : 我們也不應該遇到已經學完複數極式的高三孩子 : : 找我們說:老師，你高一教的是錯的。 : : 因為高三的複數極式都是在問 : : " 求 x^2 = -1 的根 " 而非問 " (-1)^(1/2) 為何? " http://ppt.cc/8SIB 我這邊就當做你自己已經體會囉。以下先恕刪 : 看來看去，您應該還是沒有翻閱正式課本是如何撰寫這部份 : : 首先，看了許多課本以後確實發現沒有一本書有提到或寫到如 : 27^(2/(-3)) : : 即有理數指數，分母取負整數之狀況 : : 但是 : : 課本 ( 全華、龍騰 ) 卻有提到一件事 : : " 因為有理數的表示法不唯一，而所有的有理數都可以寫為 m/n 的型式，其中 : : m 為整數，n 為正整數 " 這邊不就說明了當出乎「定義」所敘述的情況時，不一定是「無法處理」的？當然目前的癥結點不在於指數，而是在於底數，課本裡面提到的是「當 a>0 且 n為正整數時，...(略)」學生有思考自然就會詢問其他情況是否可以計算？其實你想說有問題真的不用大廢周章，光一篇網路文章就能解釋的，例如 http://ppt.cc/SMYD 你大可以說問題在那兒且把它說明清楚，但教授課程最重要的在於那目前看不見的地方，是否可以幫學生做預前的準備，用學生能理解的方式，讓這樣的說明不會與之後所學習到的產生矛盾，這樣的預備知識在一些情況就是更重要的。 : 希望你不要再問我 : : 既然可以算 : : 那一開始的定義就不要限定 n 一定要正整數，而改成整數就好了 : : 的問題沒，這時候我會問，「不是整數不行嗎？」 : 說 : 在指數的推廣時，我們堅持指數定律需保持不變 : : ( 在這邊我還記得當年微積分教授也說過，指數函數被創造出來有一個原因是想找找看 : : 有沒有什麼函數可以滿足 f(x+y) = f(x) * f(y) 的性質 ) : : ** 註: 指數定律是 (1) a^m * a^n = a^(m+n) : : (2) (a^m)^n = a^(mn) : : (3) (ab)^m = a^m * b^m : : 基於這個觀點 : : 若是我們推廣指數到有理數時，也允許底數為負的話 : : 會發生如 : : : i = sqrt(-1) ... 虛數 i 的定義 : : = (-1) ^ (1/2) ... 前述有理數指數定義，去除底數限制 : : = (-1) ^ (2/4) ... 有理數的等價關係 : : = ( (-1)^2 ) ^ (1/4) ... 指數定律 : : = ( 1 ^ 2 ) ^ (1/4) ... 正整數指數 : : = 1 ^ (2/4) ... 指數定律 : : = 1 ^ (1/2) ... 有理數的等價關係 : : = sqrt(1) ... 有理數指數 : : = 1 : : 矛盾出現上面我有放網址，你找得到的，我也找得到，不過還是感謝你。 : : 是故，在此我們希望去限制底數只能為正實數，以避免指數定律的不成立。 : : 當然，有沒有好的辦法讓底數不要受限，又能讓指數定律成立? : : 課本告訴學生，高中階段尚不討論。高中階段不討論？你指的是不用討論，還是不花時間討論？當然你討不討論是你的選擇。 : : (據我們所知，一種解決方法即進入複變數函數的世界處理，這部分當然就太深了。) : : 從上面的課程布局來看 : : 我也就不懂為什麼會有學完極式的高三學生跑來說高一教錯了的不一致行徑。 : : 就以您提的例子來說明好了 : : : : 令 x = (-2)^(1/2) : : : 則 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i （詳見99課綱選修上冊複數極式） : ^^^^ : : "則" 字在數學用語中，即含有 " 推論 " 的意思 : : 而上面的兩句話，也就是代表 : : if x = (-2)^(1/2), then x^2 = -2 . : : 這部份，因為指數定律已經無法使用 : : 那我們究竟要依據什麼理由才能做出這個推論 ? http://ppt.cc/8SIB 文章前面我就有放了，我就當做你有理解囉。 : : : case 1. x = √2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的） : : 複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。 : : case 2. x = -√2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的） : : 複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。 : : : --- : : : 我前面講的是是否有某個東西的平方是-2 : : : : 學生會不會有這樣的疑問： : : : : 為什麼"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"對， : : : : 而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"卻錯？ : : 在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。 : 那把-2當做是複數去處理的時候，是不是有問題？尤其在你能夠理解 (-2)^(1/2) 可視為 x^2 = -2 的兩根的時候。 : : 或者有這樣的疑問： : : : : 為什麼"x = (2)^(1/2) => x = √2"對， : : : : 而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"卻錯？ : : 在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。那把-2當做是複數去處理的時候，是不是有問題？尤其在你能夠理解 (-2)^(1/2) 可視為 x^2 = -2 的兩根的時候。 : : --- : : : 這邊值得注意的一點是， : : : : 課綱中提到底數為正的情況在於指數函數(而且還不能是1)，而非指數運算，: : : 幫補課綱原文： : : 要介紹指數函數（底數a>0,a≠1）的圖形與性質，包括：值域、單調性（嚴 : 格遞增、嚴格遞減）與凹凸性，這裡凹凸性僅做割弦在函數圖形上方的直觀介紹 : 即可。主要的指數函數為2^x 及10^x 。謝謝。 : : : : 因此學生會不會有這樣的疑問： : : : : 既然指數底數在高中課程為正， : : : : 那為什麼"2^2 = 4 "對， "(-2)^2 = 4"也對？ : : 由課綱的敘述可見，只考慮底數為正顯然是針對介紹指數函數的圖形時所用。 : : : 又為什麼"[2^(1/2)]^2 = 2"對，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"卻錯了？ : ^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 同上理由，指數定律在底數為負的時候 : 會出現問題，是故無法使用那把-2當做是複數去處理的時候，是不是有問題？尤其在你能夠理解 (-2)^(1/2) 可視為 x^2 = -2 的兩根的時候。所以，這角度去看，哪邊錯？整個高中課程唯一能夠去做處理的就出現在複數極式單元，那你為什麼要一直扯指數定律在負的時候無法作用？ : : : 但實際上真的是錯的嗎？ : : 實際上，是對是錯，才疏學淺我也不敢肯定，但至少我從徹尾都沒說過"錯" 你是沒說過錯，http://ppt.cc/zbnR 只是你認為不正確的點，似乎不對吧？ : : 只會告訴學生，在現行的數學架構下這部份會有一些我們還沒辦法處理的問題，等到 : : 以後學得更多，有了能力之後，才能做適當的判斷。 : : 但如果學生認為 "不選擇" = "錯" : : 那千萬要機會教育，不讓學生只會二分法 ---- 即不是對，就是錯。這似乎不是二分法的問題，而是該把「有問題」的部份說出來的吧？ ----- 最後還是跟你抱歉一下，沒仔細去看而說你刪推文，很抱歉。不過看在我按r都沒出現你之後的編輯文章害我很苦惱，這事就請你原諒我吧。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 219.85.175.77

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