Re: [求助] 高中指數
教學的適切性，已於前文表明。
這裡純就數學上來說：
※ 引述《ERT312 (312)》之銘言：
: ※ 引述《PROQC (跑步去)》之銘言：
: : 1.年級：高一
: : 2.科目：數學
: : 3.章節：指數率
: : 4.題目： 是非題 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0
: : 答案是(錯)
: 爭點應該是 (-2)^(1/2) 有沒有超出範圍
: 而不是有沒有定義
: 因為只要 z≠0， z^w 都可以定義，其中 z,w 是複數
: Def: If z≠0， we define z^w = e^(w Log z)
: 其中 Log z = log|z| + i arg(z)， -π< arg(z)≦π
: 例如: i^i = e^(i (log1 + iπ/2)) = e^(-π/2)
: (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i
: (-1)^(1/3) = e^{(1/3)(log 1 + iπ)} = e^(iπ/3) = 1/2 + i Sqrt[3]/2
: 如果今天有個國中生學過複數，而且會解 x^2 + 1 = 0
: 當他跟你說 x = ± i時，你應該不會跟他說錯吧
: 同樣道理，[ (-2)^(1/2) ]^12 > 0，沒有錯的理由
: 你可以說它超出高中範圍，但不能說它錯
: 但是否真的超出範圍仍然可以爭議
: 因為即使不用上述的定義 (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i
: 以高中能理解的方式來看待 (-2)^(1/2) 也是可以的
: (如果是問 i^i > 0 ，那超出範圍就沒有爭議)
: 把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根
: 是高中就能理解，也合情合理的事
: 事實上在推廣指數到有理數時就有這樣的經驗了
: 只不過 a<0 時沒辦法再規定 a^(1/n) 是代表 x^n = a 的唯一正根
: 若把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根
: (-2)^(1/2) = ± Sqrt[2] i
: (-2)^(1/2) 即使多值，但 [ (-2)^(1/2) ]^12 > 0 仍然成立
: 另外一個爭點
: 如果複數運算後的結果是一個實數，那當然可以比較大小
: 事實上這種例子高中就有了
: - -
: z z ≧ 0 就是一例，其中 z 是複數， z 是它的共軛複數
: 內積 < x,x > ＞ 0 , if x≠0 也是一例
實數可以定義排序，純虛數也同樣能定義排序。
數學因為指涉的不是現實中客體，對於同樣自洽的邏輯體系裡，
不同體系的定義不同，不代表一定是其中某個體系的結論錯了。
複數的模平方之所以能定義排序，
是因為在這樣定義出來的向量空間中，向量的模為半正定。
所以不必擔心無法比較大小。
但是一般情況裡，如果只將運算的結果，
視為複數域裡的一個向量，強加排序是沒有道理的。
關於判別命題的對錯，你預設的定義為何，當然也重要。
因為當定義的邏輯體系不同，結果就不一樣。
例如Dirac-delta函數，就不滿足傳統函數的定義。
但沒有人會認為廣意函數是錯誤或無用的。
廣義相對論描述的四維時空，
其metric也不符合數學家在傳統上對metric的定義。
但現今以有越來越多數學家投入相關研究，
沒有人會因此批評這套幾何學是錯的或者無意義的。
定義是溝通交流上的共通基礎，
因為數學上自洽的邏輯體系不唯一。
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