Re: [求助] 高中指數

看板tutor作者ERT312 (312)時間10年前 (2013/11/08 01:18)推噓10(10推 0噓 8→)

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※ 引述《PROQC (跑步去)》之銘言： : 1.年級：高一 : 2.科目：數學 : 3.章節：指數率 : 4.題目：是非題 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0 : 答案是(錯) 爭點應該是 (-2)^(1/2) 有沒有超出範圍而不是有沒有定義因為只要 z≠0， z^w 都可以定義，其中 z,w 是複數 Def: If z≠0， we define z^w = e^(w Log z) 其中 Log z = log|z| + i arg(z)， -π< arg(z)≦π 例如: i^i = e^(i (log1 + iπ/2)) = e^(-π/2) (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i (-1)^(1/3) = e^{(1/3)(log 1 + iπ)} = e^(iπ/3) = 1/2 + i Sqrt[3]/2 如果今天有個國中生學過複數，而且會解 x^2 + 1 = 0 當他跟你說 x = ± i時，你應該不會跟他說錯吧同樣道理，[ (-2)^(1/2) ]^12 > 0，沒有錯的理由你可以說它超出高中範圍，但不能說它錯但是否真的超出範圍仍然可以爭議因為即使不用上述的定義 (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i 以高中能理解的方式來看待 (-2)^(1/2) 也是可以的 (如果是問 i^i > 0 ，那超出範圍就沒有爭議) 把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根是高中就能理解，也合情合理的事事實上在推廣指數到有理數時就有這樣的經驗了只不過 a<0 時沒辦法再規定 a^(1/n) 是代表 x^n = a 的唯一正根若把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根 (-2)^(1/2) = ± Sqrt[2] i (-2)^(1/2) 即使多值，但 [ (-2)^(1/2) ]^12 > 0 仍然成立另外一個爭點如果複數運算後的結果是一個實數，那當然可以比較大小事實上這種例子高中就有了 - - z z ≧ 0 就是一例，其中 z 是複數， z 是它的共軛複數內積 < x,x > ＞ 0 , if x≠0 也是一例 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.164.180.82

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jollic

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jollic

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指數律有的必須修改例如: (xy)^w = x^w y^w e^(2πiw n(x,y)) 其中 n(x,y) = 0 , if -π < arg(x) + arg(y)≦ π 1 , if -2π < arg(x) + arg(y)≦ -π -1 , if π < arg(x) + arg(y)≦ 2π 以維基那個錯誤證明 1+1 = 0 為例 http://ppt.cc/99pj 正確應該是 (-1*-1)^(1/2) = (-1)^(1/2)*(-1)^(1/2)*e^(2πi*(1/2)*(-1)) = i*i*e^(-πi) = 1 但是像指數律 z^x * z^y = z^(x+y) 就仍然成立 z≠0，x,y,x 是複數其實原 po 問的這題，不必用到指數律但我覺得這種題目還是盡量避免出現在高中若不得已已經出來，最節省時間的方法就是告訴學生超出範圍，不計分或送分但剛好這題就真的大於 0 所以不能說它錯 ※ 編輯: ERT312 來自: 218.164.180.82 (11/08 02:39)

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quark

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diego99

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nomorethings

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