Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者Lindemann (做一個有質感的好人)時間7年前 (2018/12/07 04:20)推噓3(3推 0噓 7→)

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※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言： : 看了上下文雙方都認為s=1沒有解析 (不過中間的卻有誤會) : 其中就是說有兩種Zeta函數後來L=C說他記錯是s=1不解析 : 主要就是L大戰 H大其中原因是因為H大用高中方法證明 1+1/2+1/3 ... -> ∞ : 照他那樣的證明那 1+1+1+ ... 只會是發散而非 -1/2 : 1+2+3+ ... 只會是發散而非 -1/12 : 而大家戰 L大(=C大) 我看上下文我的理解是很容易誤以為他是堅持說s=1可解析 : 我看到了 CNSaya 他PO的 https://imgur.com/ZlCZCTJ

的公式 : 利用以前我推導過的公式去推導這個積分的表達式 : http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1309405680.A.1E1.html : http://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1197570283.A.9AD.html : 再按照 Bernoulli Polynomials 的生成函數的定義推導出了這個公式 : 又第二篇 C大(=L大) 他說有二個resides必須做,s=0和s=-1 : 一開始我很好奇積分再取留數有何意義？試著將這個式子做了s=1的留數稍微解釋一下思路在證明 1 + 2 + 3 +.... = -1/12 的過程,我們要對二個函數做解析延拓,一個就是Gamma函數Γ(s) ,做解析延拓可以得到 simple pole是 0, -1 ,-2,.....還有 Γ(s)的residue 另外一個過程就是要算Γ(s)ζ(s) 二個合併在一起的解析延拓, 神奇的事情發生了,總共會跑出三項奇怪項,分別是 s=0,s=1,s=-1 s=0 和 s=-1 剛好這二項就是可以算傳說中的 ζ(0)和ζ(-1), 為什麼在s=1是singularity呢? 因為我們硬算s=1在Γ(s)ζ(s)的residue確實就是會發散到無窮大 : (後來發現這其實是第二個關鍵 - 積分後取留數) : 將該積分用s=1 的時候取留數再照留數的極限定義去做此極限收斂 : 分母發散分子就得發散則得到 1+1/2+1/3 ... -> ∞ 只是這裡正好被H大摸對對,只是瞎貓碰到死耗子,所以我們可以用解析延拓證明s=1是一個奇點singularity 也就是 s=1既不是 Γ(s)的simple pole,也不是ζ(s)的 simple pole,但是是一個冗餘項嗎? 不是的,s=1確實就是一個實實在在的奇點 (singularity) : 但 s=-1,0 依此類推得到 1+1+1+ ... = -1/2 , 1+2+3+ ... = -1/12 : 沒錯我的確得到了C大(=L大)所說的結果這結果是正確的 : ( 我認為雙方都沒有錯，一方堅持要經過解析延拓，另一方則認為只是茶餘拌飯 ) 所以結論就是因為不做解析延拓,不可能得到這二個神奇的數學式子 1+1+1+ ... = -1/2 1+2+3+ ... = -1/12 : 因此我拆項比對他的公式關於他所PO的積分式再動了些手術 : 我怎麼湊都沒辦法得到那個公式 : 而且我用 mathematica 代數值也兜不攏於是去問他那個公式的來源 : 我給了他我的推導他說我解出了所有的過程另外我問對於他給的公式的疑問 : 因為一方面他不想讓人google到來源一方面他是憑印象寫那個公式 : 他不想公開來源我也就不方便透露來源我看他的來源我的確看到了那個真．手術 : 所以確定他給的公式有缺項 (這是第一且最大的關鍵 - 部分移項) : 就可以再把我最後的公式改寫成那個真．手術的形式抱歉當時在準備學位論文口試,沒仔細看文章現在才有時間回答你 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.25.220 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544127625.A.D17.html

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Hyuui

12/07 04:31, 7年前 , 1^F

12/07 04:31, 1^F

推

Desperato

12/07 13:01, 7年前 , 2^F

12/07 13:01, 2^F

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Desperato

12/07 13:01, 7年前 , 3^F

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