Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者herstein (暈~~)時間10年前 (2014/06/01 01:11)推噓17(17推 0噓 574→)

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對於Chatterly與Hyuui之間的戰爭我並不想介入. 當初post定理與Reference的想法是很簡單：在網路上諸多訊息中,肯定有對有錯.身為一個做數學的人（如果C大不喜歡我用數學家這字眼）對於一個定理的正確性,除了提供證明外,就是提供Reference讓有興趣的朋友可以找到正確的資訊. 就以複數原有的拓樸與複結構來說來說,C兄說的Riemann zeta函數在s=1該點可以做解析延拓是錯誤的.所以我提供了E. Stein與L.A. Alhfors兩位大師的書來做論證.此處是針對Ｃ兄的數學論述來談,並非針對Ｃ兄個人.至於Ｃ兄想知道我能否證明Riemann zeta函數的延拓與得出Riemann zeta函數在負整數的值,我的確知道怎麼計算,但這些也都不是我的成果.目前我也的確沒有自己的證明.但對於一個現代做數學研究的人來說,很難每樣東西或每個別人已經發表出來重要的成果都給出自己的證明,因為現在的學術圈相當競爭,每個人都很努力地要有獨創性工作,這獨創性工作指的並不是把別人的成果用自己的方式做出來外,還有就是要得出屬於自己有別於其他人工作的研究成果.現在許多的數學圈的年輕人,都很努力得再做這件事,而且相當忙碌,除了教學外,研究外,學校的事務外,還有家庭, 已經無法像學生時代可以時時刻刻的來數學版回應,幫助大家解題以及回應Ｃ大的問題. 至於部落格,當然不敢說對每個人來說都有用,也不敢自比Terry Tao,純粹只是自己寫作的興趣,再加上可以讓多一點人能有這樣的機會可以閱讀倒比較高深的數學. 部落格得寫作跟寫書是不同的,如果要學東西當然必須要回到書本上,論文上.所以Ｃ大的批評我虛心受教. 最後回到Riemann Zeta的問題上. Ｃ大一直在強調可以做手術讓Zeta函數可以解析延拓成整域函數.個人認為他可能覺得他找到了另外一種古典Riemann Zeta函數解析延拓的方式,因此才提了兩個 Riemann zeta函數的可能性.因此他不覺得自己錯了,只是大家不懂他延拓的方式而已.我猜他一直在強調“要手術”就是C大手術可以讓函數得到了一個新的延拓法. 如果是這樣,我想再補充說明一下. 兩個定義在同一個開連通區域的複解析函數在一個具有極限點的集合上相等,則這兩個函數必相等.(稱為identity theorem) 這個定理會讓解析延拓是唯一的,換句話說,解析延拓的結果只會唯一確定. 如果我們令z(s)表示Alhfors書中的zeta函數解析延拓,而z'(s)表示另外一種不知名方法得到的zeta函數解析延拓.由於是zeta函數的解析延拓,所以 z(p)=z'(p)= sum 1/n^p (n=1到無窮大), p>1 而(1,無窮大）這個集合在複數平面上是有極限點的.因此根據Identity theorem, z(s)=z'(s) forall s屬於複數-{1}.但如果z'(s)可以延拓到s=1,根據定義s=1會是 z(s)的removable singularity,這是不可能的,因為根據z(s)的計算,s=1是z(s)的單極點,他在s=1附近的Laurenz展開為 1/(s-1)+ G(s), 其中G(s)為s=1附近的解析函數所以我們可以得出Riemann zeta在複解析拓樸下只會有唯一的解析延拓且s=1 是zeta函數的單極點(simple pole) 但如果不是複數的解析拓樸定義出來的zeta函數有沒有可能在s=1是解析的？這我就不清楚了,也許有可能.但那也就不是古典Riemann zeta函數的解析延拓了. 跟C兄說聲抱歉,我大概沒有很多時間可以去想zeta函數不同的解析延拓法.目前比較專注於自己的工作上. 做學術研究應該是愉快的,數學能力無法量化,很難做什麼比較的.研究的創意在學術圈中還是比較重要的. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.142.2.12 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401556293.A.2EC.html

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※ 編輯: herstein (223.142.2.12), 06/01/2014 01:43:37

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HmmHmm

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musicbox810

06/01 03:09, , 3^F