Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間11年前 (2014/06/14 17:58)推噓6(6推 0噓 14→)

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※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言： : 我看到了 CNSaya 他PO的 https://imgur.com/ZlCZCTJ

的公式 : 利用以前我推導過的公式去推導這個積分的表達式 : http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1309405680.A.1E1.html : http://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1197570283.A.9AD.html : 再按照 Bernoulli Polynomials 的生成函數的定義推導出了這個公式 : 又第二篇 C大(=L大) 他說有二個resides必須做,s=0和s=-1 : 一開始我很好奇積分再取留數有何意義？試著將這個式子做了s=1的留數 : (後來發現這其實是第二個關鍵 - 積分後取留數) : 將該積分用s=1 的時候取留數再照留數的極限定義去做此極限收斂 : 分母發散分子就得發散則得到 1+1/2+1/3 ... -> ∞ 只是這裡正好被H大摸對 : 但 s=-1,0 依此類推得到 1+1+1+ ... = -1/2 , 1+2+3+ ... = -1/12 : 沒錯我的確得到了C大(=L大)所說的結果這結果是正確的 : ( 我認為雙方都沒有錯，一方堅持要經過解析延拓，另一方則認為只是茶餘拌飯 ) 這結果是錯的，因為這結論已經不是原始 zeta function 的定義 : 因此我拆項比對他的公式關於他所PO的積分式再動了些手術 : 我怎麼湊都沒辦法得到那個公式 : 而且我用 mathematica 代數值也兜不攏於是去問他那個公式的來源 : 我給了他我的推導他說我解出了所有的過程另外我問對於他給的公式的疑問 : 因為一方面他不想讓人google到來源一方面他是憑印象寫那個公式 : 他不想公開來源我也就不方便透露來源我看他的來源我的確看到了那個真．手術 : 所以確定他給的公式有缺項 (這是第一且最大的關鍵 - 部分移項) : 就可以再把我最後的公式改寫成那個真．手術的形式肯定是 L大對參考來源哪裡有所誤解 s-1 ∞ z Γ(s)ζ(s)= ∫ ─── dz ____(1) 0 z e -1 右邊積分式原本收斂於 Re{s} > 1 不論動任何 "手術" or "真‧手術" 不可能因此而推得 ζ(-1) = -1/12 因為 ζ(-1) 必然發散不過可以用複變技巧將 (1) 式改寫成: s-1 Γ(1-s) z ζ(s) = ────∮ ──── dz ____(2) 2πi C -z e - 1 其中 C 是包覆負實數軸 (包含 z = 0 ) 的 contour 我在想 L大所謂的手術，是指 (1) → (2) 的過程但重點在 Γ(1-s) 這個 term 因為 (2) 式的 gamma function, 已經 generalize 成半純函數 ∞ -z s-1 不再是我們熟悉的 Γ(s) = ∫ e * z dz 0 想當然爾, (2)式的 ζ(s) 也不會是原始 (1)式的 zeta function 喜鵲就是喜鵲，飛錯枝頭本質還是喜鵲，不會因此成鳳凰 ----- 我覺得討論一件事情，至少要把 condition 講清楚 x - y 例如我宣稱 lim ─── = -2/3 x→0 x + y y→0 然後跟大家說要求得這個極限, 需要做一點 "手術" 說穿了這個手術，就只是加上這個條件: (x,y) 要沿著 y = 5x 逼近但沒跟大家說這個條件，卻抨擊 "說該極限發散的人" 是錯的這種討論是沒有任何意義的 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.61.82.125 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1402739886.A.FA4.html

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caseypie

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yueayase

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yueayase

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