Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者Chatterly (chatterly)時間11年前 (2014/05/27 22:16)推噓1(1推 0噓 20→)

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※ 引述《Hyuui (修)》之銘言： : ※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言： : : 這本算很簡單的,所以你是要表達Hyuui亂寫嗎? : : 說過了,我不會做Zeta的解析延拓,因為我不是做數論的,但是我剛剛看這本其實也還好 : : 接下來這本書的 p.178頁習題15 和16給你提示我作法了,我打的還比較仔細 : : 來呀,證明一下這二題習題展現一下你的本領給大家看看啊,我的證明幾乎就是這習題了 : : 然後更困難以下的習題幾乎是水到渠成了 : : 1+2+3+.....=-1/12 : : 1+1+1+....= -1/2 : : 不要只是丟書好嗎? 我都認真寫算式了,我只是寫給懂得人看得 : Lindemann = Chatterly 在物理板說： : // : 這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到, : 所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂, : 跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的 : 所以拜託鄉民不要被Hyuui給騙了,他只是把wiki抄一下,然後竟然說他會做Zeta函數的 : 解析延拓(這超難的),如果他有本事不可能我的文章竟然連個一行都debug不出來 : // : 這讓我感到非常疑惑，因為Zeta函數的解析延拓是數學系大三生就會的東西。 : 中正數學系的情況我不清楚，至少在清華大學數學系，我們都是這樣教的。 : 或許物理系出身的弦論學家比較不在意嚴謹的數學證明，但這一定難不倒他們。 : 而且要說Zeta函數的解析延拓超難，卻說自己會做AdS/CFT，這實在很奇怪。 : 我從未學過解析數論，也很久沒碰複變了，但我可以憑著記憶挑戰一下。 : ── : 讓我們從一個基本式子開始： : (我對統計力學不熟，所以不確定這在統計力學中是不是基本的東西。) : Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt : 移項一下。 : Zeta {z} : = 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt : = 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt : 注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函數，記為g(z)。 : 我們要處理的只有 Int_0~1 的部分， : 所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。 : 1 / (e^t -1) : = 1/t + a_0 t + a_1 t^2 + a_2 t^2 + ... 不要拿你笑死人的Laurent展開,積分Int_0~1是閉區間耶不是開區間耶 : 故 : Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt : = Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt : = 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ... : 所以 : Zeta {z} : = 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)} : 注意到在z等於非正整數的時候，極點都會被Gamma函數抵消掉， : 所以Zeta函數只有在 z=1 的時候有單極點。 : Q.E.D. 正更是暴露你不會解析延拓,我都說了解析延拓的結果是下面的結果你根本就是在誤導鄉民好嗎? 叫herstein出來證明啦,拜託你不要在亂說好嗎? 前面說調和級數所以s=1,自己不會去看E.Stein怎麼寫嗎? -------------------- 在 z=0會爆掉,所以我們必須動一些"手術",然後經過整理 s-1 1 - s-1 ∞ z 1 z 1 1 1 Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ----+------ 0 z 0 z e -1 e -1 s-1 2s 12(s+1) s-1 ∞ z +∫ ------- dz + z 1 e -1 這時候稍微有點複變常識的人會知道,只有二個resides必須做,s=0和s=-1 我們會發現上面的函數可以做計算 1 1 -------- = (-1) ξ(-1) 所以 1+2+3+... = - ----- 12 12 -1 1 ------- = 1 ξ(0) 所以 1+1+1+....= - ---- 2 2 所以Hyuui,你不要一直亂造謠說我搞不懂Gamma和Zeta函數好嗎? 正如你對那些人的攻擊和造謠,拿出一點點點專業知識來說嘴好嗎? 你永遠只會扯z=1調和級數發散我上面已經證明比調和級數更不出初等的解析延拓結果了,請問你呢? 你在那裏? 不要讓我一直打重複的話啦,很無聊耶 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.181.152 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401200162.A.FDC.html

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Hyuui

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Hyuui

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Chatterly

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