Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

看板Math作者Hyuui (修)時間10年前 (2014/05/27 21:58)推噓1(1推 0噓 24→)

留言25則, 5人參與討論串11/34 (看更多)

※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言： : 這本算很簡單的,所以你是要表達Hyuui亂寫嗎? : 說過了,我不會做Zeta的解析延拓,因為我不是做數論的,但是我剛剛看這本其實也還好 : 接下來這本書的 p.178頁習題15 和16給你提示我作法了,我打的還比較仔細 : 來呀,證明一下這二題習題展現一下你的本領給大家看看啊,我的證明幾乎就是這習題了 : 然後更困難以下的習題幾乎是水到渠成了 : 1+2+3+.....=-1/12 : 1+1+1+....= -1/2 : 不要只是丟書好嗎? 我都認真寫算式了,我只是寫給懂得人看得 Lindemann = Chatterly 在物理板說： // 這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到, 所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂, 跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的所以拜託鄉民不要被Hyuui給騙了,他只是把wiki抄一下,然後竟然說他會做Zeta函數的解析延拓(這超難的),如果他有本事不可能我的文章竟然連個一行都debug不出來 // 這讓我感到非常疑惑，因為Zeta函數的解析延拓是數學系大三生就會的東西。中正數學系的情況我不清楚，至少在清華大學數學系，我們都是這樣教的。或許物理系出身的弦論學家比較不在意嚴謹的數學證明，但這一定難不倒他們。而且要說Zeta函數的解析延拓超難，卻說自己會做AdS/CFT，這實在很奇怪。我從未學過解析數論，也很久沒碰複變了，但我可以憑著記憶挑戰一下。 ── 讓我們從一個基本式子開始： (我對統計力學不熟，所以不確定這在統計力學中是不是基本的東西。) Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt 移項一下。 Zeta {z} = 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt = 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函數，記為g(z)。我們要處理的只有 Int_0~1 的部分，所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。 1 / (e^t -1) = 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ... 故 Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt = Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt = 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ... 所以 Zeta {z} = 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)} 注意到在z等於非正整數的時候，極點都會被Gamma函數抵消掉，所以Zeta函數只有在 z=1 的時候有單極點。 Q.E.D. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.165.175.29 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html

→