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作者 hwanger 在 PTT 全部看板的留言(推文), 共4432則

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[線代] QR分解

[ Math ]29 留言, 推噓總分: 0

作者: NTUmaki - 發表於 2020/10/21 20:54(3年前)

10^F→hwanger: 不是很重要不過如果依英文wiki的定義題中的QR就是10/22 02:48

11^F→hwanger: QR decomposition 並且QR分解有可能不唯一如下圖10/22 02:50

12^F→hwanger: https://imgur.com/Mm4zjvb10/22 02:51

13^F→hwanger: 不過一般的定義是會要求A的column vector是獨立的(10/22 02:53

14^F→hwanger: 所以A是瘦的) 此時如果要求R的對角線是正的我們才10/22 02:54

15^F→hwanger: 會有QR分解是唯一的10/22 02:54

16^F→hwanger: 如R大所述這邊定義很亂不過一般還是希望A的column10/22 03:00

17^F→hwanger: vector是獨立的所以不太確定是否真的有人特別討論10/22 03:00

18^F→hwanger: 胖的情況10/22 03:00

19^F→hwanger: 依英文wiki定義瘦分解是指對瘦矩陣做QR分解僅在A10/22 03:04

20^F→hwanger: 是full rank並且R的對角線是正的情況下分解才唯一10/22 03:05

21^F→hwanger: 昨天有點混亂不過英文wiki其實就蠻清楚了10/22 07:10

22^F→hwanger: 先考慮方陣A 我們把A=QR Q是unitary R是上三角都叫10/22 07:11

23^F→hwanger: QR分解不過在這個情形下就會像LU分解一樣造成分解10/22 07:12

24^F→hwanger: 可能不唯一加上為了能夠順利施作Gram–Schmidt 大10/22 07:14

25^F→hwanger: 部份的作者就會直接假設A的column vectors是獨立的10/22 07:15

26^F→hwanger: 所以才會得到如文中所述 QR分解需要行獨立且R可逆10/22 07:18

27^F→hwanger: 但是Gram–Schmidt的施作只需要獨立的向量並不需要10/22 07:20

28^F→hwanger: 基底所以才有好像推廣到一般矩陣的感覺但實際上10/22 07:21

29^F→hwanger: 為了讓column vector獨立你必須要求瘦矩陣才行10/22 07:24

[線代] 線代一題(eigenvalue,nullspace,...)

[ Math ]7 留言, 推噓總分: +1

作者: NTUmaki - 發表於 2020/10/21 16:35(3年前)

2^F→hwanger: 題目是說存在一個x和λ 使得λ≠0 且Ax=λx 而不是10/21 17:28

3^F→hwanger: 說所有的eigenvalue不是0 (是至少一個eigenvalue不10/21 17:29

4^F→hwanger: 是0 至於要不要把row space和column space都視作同10/21 17:32

5^F→hwanger: 一個空間的子空間或不同空間的子空間(例如視作dual10/21 17:33

6^F→hwanger: space的子空間在這一題結論都一樣就是不相等 (視10/21 17:34

7^F→hwanger: 作相等的話就是答案給的反例)10/21 17:34

[機統] 迴歸分析 F檢定

[ Math ]28 留言, 推噓總分: +1

作者: love113w - 發表於 2020/10/20 11:47(3年前)

1^F→hwanger: 圖中問題應是Regression problems的F-test 公式見10/20 15:20

2^F→hwanger: https://en.wikipedia.org/wiki/F-test10/20 15:20

3^F→hwanger: 之中的2.2Regression problems10/20 15:21

4^F→hwanger: 和圖中的式子是一致的10/20 15:23

6^F→hwanger: 對我也在想為何會有不同情況會有不同定義冏雖然10/20 17:57

7^F→hwanger: wiki也是兩個定義(其他資料也有分開的情況) 也有可10/20 18:01

8^F→hwanger: 能我學藝不精他在某個宏觀角度下是一致的也說不定10/20 18:02

9^F→hwanger: https://reurl.cc/4mbMNK 也是兩種F算法等待版上其10/20 18:06

10^F→hwanger: 他能人解答10/20 18:06

25^F→hwanger: 所以說MSR/MSE只是一個特例的公式是嗎謝謝10/20 19:02

26^F→hwanger: 喔喔翻到書了看來就是我在學ANOVA的時候就沒有仔10/20 19:36

27^F→hwanger: 細搞懂感謝c大P大10/20 19:36

證明convex hull的另一種表示法是相等的

[ Math ]49 留言, 推噓總分: 0

作者: jr80939393 - 發表於 2020/10/20 12:08(3年前)

1^F→hwanger: induction on p, p是1時顯然對於一般p 先考慮Q1,Q210/20 13:33

2^F→hwanger: Q3,...,Qp,Q{p+1},Q{p+2}所形成的convex hull10/20 13:34

3^F→hwanger: 若其中Q1,Q2,...,Q{p+1}的convex hull C'是p-1維的10/20 13:37

4^F→hwanger: 這裡要注意到的是對所有p在C中 p都會在Q{p+2}和p'的10/20 13:39

5^F→hwanger: 線段上 for some p' in C' (觀察p=ΣciQi就知道了)10/20 13:42

6^F→hwanger: by induction hypothesis 這個case ok10/20 13:44

7^F→hwanger: 接下來假設對任意p+1個點都不會落在p-1維的10/20 13:46

8^F→hwanger: hyperplane上則{Q1,...,Q{p-1},Qp},10/20 13:47

9^F→hwanger: {Q1,...,Q{p-1},Q{p+1}}, {Q1,...,Q{p-1},Q{p+2}}會10/20 13:49

10^F→hwanger: 形成三個不同的hyperplane 故至少其中一個hyperplan10/20 13:51

11^F→hwanger: 會分隔剩餘兩點(這裡需要用線代證明有些複雜) 就假10/20 13:54

12^F→hwanger: 設Q{p+1}和Q{p+2}在{Q1,...,Q{p-1},Qp}所形成的平面10/20 13:55

13^F→hwanger: 異側則存在0<=d1,d2<=1使得d1+d2=1,d1Q{p+1}+d2Q210/20 13:58

14^F→hwanger: 平面上令C'為Q1,...,Q{p-1},Qp,d1Q{p+1}+d2Q{p+2}10/20 14:00

15^F→hwanger: 所形成的convex hull 則可以證明對所有p在C中都存10/20 14:01

16^F→hwanger: 在p'在C'中使得 p要嘛在p'Q{p+1}上要嘛在p'Q{p+2}10/20 14:03

17^F→hwanger: (同樣討論p=ΣciQi就可以了不過情況更複雜)10/20 14:04

18^F→hwanger: by induction hypothesis 這個case就結束了10/20 14:05

19^F→hwanger: 現在考慮p=c1Q1+c2Q2+...+cpQp+c{p+1}Q{p+1}+10/20 14:07

20^F→hwanger: c{p+2}Q{p+2}+dQ{p+3}=(1-d)*[(c1/(1-d))*Q1+...+10/20 14:09

21^F→hwanger: (c{p+2}/(1-d))*Q{p+2}]+dQ{p+3} 其中(c1/(1-d))*Q110/20 14:11

22^F→hwanger: +...+(c{p+2}/(1-d))*Q{p+2}可以縮減成p+1個所以整10/20 14:13

23^F→hwanger: 個式子可以再縮減成p+2項然後再縮一次即可10/20 14:14

24^F→hwanger: 很多細節沒寫覺得哪有問題再補上抱歉10/20 14:16

37^F→hwanger: T大的定理是對的基本上[13:37]和[13:51]的論證不10/20 18:09

38^F→hwanger: 過接下來的induction會有點坎例如考慮三角形ABC及10/20 18:10

39^F→hwanger: 其內部一點D 令E為AD連線接著會有點小困難冏10/20 18:14

40^F→hwanger: 不過如果能證所有的點都可以由邊界的點組合出來的話10/20 18:42

41^F→hwanger: 應該就能順利搭配T大Lemma做inducition10/20 18:43

[中學] 幾何作圖

[ Math ]25 留言, 推噓總分: +2

作者: Lanjaja - 發表於 2020/10/19 12:28(3年前)

2^F→hwanger: 先考慮內切過O點做L垂線交L於B 並過A點做L垂線則10/19 12:47

3^F→hwanger: O'在後面這條垂線上則我們會有 (OB-O'A)^2+AB^2=10/19 12:49

4^F→hwanger: (r+O'A)^2 其中r是圓O的半徑得到一個O'A的一次方程10/19 12:51

5^F→hwanger: 式就有O'A該如何畫的資訊外切應該就是類似10/19 12:52

6^F→hwanger: 上面是考慮外切內切才是類似10/19 13:24

10^F→hwanger: w大的解法很漂亮下圖是基於我之前說的計算的作法10/19 14:20

11^F→hwanger: https://imgur.com/OSYdweS10/19 14:20

12^F→hwanger: 過O作L垂線得3交點D,H,B 連AD 作AD垂線交DB直線於E10/19 14:22

13^F→hwanger: 則HE線段的一半就是所求外切圓的半徑10/19 14:24

14^F→hwanger: 作HA垂線交DB直線於F 則DF線段的一半就是內切圓半徑10/19 14:35

25^F→hwanger: 也想知道用圓冪定理的希望有人提供感謝10/19 19:27

[中學] 國中的，兩圓切線的問題

[ Math ]26 留言, 推噓總分: +4

作者: aabbcc103 - 發表於 2020/10/18 03:18(3年前)

2^F→hwanger: 令O1=(0,0) O2=(12,0) P=(x,y) 則 (x^2+y^2)-25=10/18 09:08

3^F→hwanger: (PA)^2=(PB)^2=(x-12)^2+y^2-9 得x=20/3 所以P不在10/18 09:10

4^F→hwanger: x=6中垂線上而是在x=20/3這條線上故(PA)^2的最小10/18 09:11

5^F→hwanger: 值為 y^2+175/9=175/9 在y為0之時10/18 09:13

6^F→hwanger: P的確在AB中垂線上只是A,B非定點所以幫助不大10/18 09:20

12^F→hwanger: 若PA為PB的常數倍則P點的可能位置在一個圓上其圓10/18 11:49

13^F→hwanger: 心在原本兩圓的連線上現在倍數是1 得到退化型為直10/18 11:50

14^F→hwanger: 線又圓心在原本圓心連線上所以該直線垂直於圓心連10/18 11:51

15^F→hwanger: 線上10/18 11:51

17^F→hwanger: 就是算出來的看起來好像有幾何意義卻只能基於計算10/19 00:19

18^F→hwanger: 的解讀10/19 00:19

19^F→hwanger: 考慮(PA)^2=c^2(PB)^2就會得到圓方程式如我之前算10/19 00:21

20^F→hwanger: 出直線的方法10/19 00:21

23^F→hwanger: 是我見少識寡了只知道Apollonius' problem 不知道A10/19 09:53

24^F→hwanger: pollonius' definition of circles10/19 09:53

25^F→hwanger: 不清楚Apollonius circle有其他意思10/19 09:56

26^F→hwanger: 以前只把這個結果當作純粹計算的結論10/19 09:56

[幾何] 兩題幾何問題請教

[ Math ]14 留言, 推噓總分: +2

作者: nokol - 發表於 2020/10/18 17:33(3年前)

5^F→hwanger: 過E做平行於AD的線交BC於I 則EI/AD=2/3 GD/EI=3/410/18 19:09

6^F→hwanger: 過F做平行於AD的線交BC於J 則FJ/AD=1/3 HD/FJ=3/510/18 19:12

7^F→hwanger: 所以HD=(1/5)AD AG=(1/2)AD10/18 19:14

10^F→hwanger: 無法想出DF//BE之後的作法求後續感謝10/18 20:36

13^F→hwanger: 怕有人誤解我是想問第一題證明DF//BE後是有其它思10/19 00:22

14^F→hwanger: 路接著做嗎10/19 00:22

[線代] 矩陣的rank

[ Math ]5 留言, 推噓總分: 0

作者: Aquarkbrain - 發表於 2020/10/18 17:01(3年前)

2^F→hwanger: 如R大所述或直接考慮下圖10/18 18:52

3^F→hwanger: https://imgur.com/a/DFqHHR410/18 18:52

4^F→hwanger: 圖中右下角打錯應該是A22-A21A11^{-1}A1210/18 18:59

[中學] 多項式四題

[ Math ]17 留言, 推噓總分: 0

作者: csy0504 - 發表於 2020/10/18 10:35(3年前)

1^F→hwanger: 第三張因式分解2m^2-m-3 得x兩根為2m-3和m+110/18 10:47

2^F→hwanger: 第一張應該有問題判別式是有理數的平方都可以10/18 10:57

3^F→hwanger: 更正第一張的第一題有問題例如m=0 -4k+4的根號可10/18 11:01

4^F→hwanger: 以開出有理數即可10/18 11:01

7^F→hwanger: 第三張其他類似題型可以公式解硬解不等式10/18 11:07

8^F→hwanger: 第一張第2題令其中有理數根為p 則根與係數關係推出10/18 11:08

9^F→hwanger: 另一根為 (3-p)+√2 而且p=m p(3-p)=-410/18 11:10

10^F→hwanger: 這裡需要用到一個知識就是對所有有理數 p,q,p',q'10/18 11:13

11^F→hwanger: p+q√2=p'+q'√2 若且唯若 p=p' q=q'(移項一下就可10/18 11:14

12^F→hwanger: 以證明了)10/18 11:14

13^F→hwanger: 第二張令n為其中一根則另一根為-(a+n) 並且10/18 11:20

14^F→hwanger: -n(n+a)=-a+1 得a=-(n^2+1)/(n-1) 故10/18 11:22

15^F→hwanger: n^2+1=(n-1)^2+2n必須為n-1的倍數也就推得2n必須是10/18 11:23

16^F→hwanger: n-1的倍數因n-1,n互質所以n-1是2的因數10/18 11:24

17^F→hwanger: n-1等於正負1 正負2 得a=1或-5(皆合)10/18 11:32

[中學] 根式化簡求過程

[ Math ]58 留言, 推噓總分: +3

作者: Lanjaja - 發表於 2020/10/17 21:18(3年前)

4^F→hwanger: 逆推Cardano formula 則1得x^3-3x-2√510/17 21:52

5^F→hwanger: 因式分解得(x^2+√5x+2)(x-√5)10/17 21:53

7^F→hwanger: 2得x^3+6x-20=(x^2+2x+10)(x-2)10/17 21:54

9^F→hwanger: ??? (2+√5)^(1/3)-(2-√5)^(1/3) =10/17 21:58

11^F→hwanger: (√5+2)^(1/3)+(√5-2)^(1/3) 所以q=-2√5 p=-310/17 22:00

16^F→hwanger: 分解x^3-3x-2(5)^(1/2) 星形交乘就得到那個因式分解10/17 22:04

17^F→hwanger: 因為LPH大也是逆推Cardano formula而已10/17 22:06

18^F→hwanger: x^3+6x-20 星形交乘就得到那個因式分解了10/17 22:08

24^F→hwanger: 就是十字交乘法的推廣而已畫一個不出頭的五芒星10/17 22:12

25^F→hwanger: 做跟十字交乘法一樣的事應該沒教材我國中老師要我10/17 22:14

26^F→hwanger: 們練的10/17 22:14

28^F→hwanger: ??? 就十字交乘法的推廣而已還有老師會交雙十字不10/17 22:17

29^F→hwanger: 是嗎另外你原文題目就是Cardano formula的變形而已10/17 22:18

30^F→hwanger: 還有如果原本的三次方程式你無法漂亮的因式分解10/17 22:24

33^F→hwanger: 你重推一次Cardano formula也不會得到漂亮的解10/17 22:25

40^F→hwanger: 如果是 (m+n^(1/2))^(1/3) m非零的話基本上是不能10/17 22:31

43^F→hwanger: 再化簡的這個是因為field extension over Q的10/17 22:32

44^F→hwanger: degree是610/17 22:32

45^F→hwanger: 一個數開二次再開三次能不能化簡成更低次是有比較10/17 22:34

46^F→hwanger: 進階的代數工具幫助判別的10/17 22:35

47^F→hwanger: 有興趣的話可以找Galois theory的書來看10/17 22:37

49^F→hwanger: 不會很深太多人將高等數學妖魔鬼怪化了10/17 22:51

50^F→hwanger: 另外不是很重要如果能認識Galois theory的話應該10/17 22:52

51^F→hwanger: 就能明白為何我會說"三次方程式如果無法漂亮的因式10/17 22:53

52^F→hwanger: 分解基本上重做一次Cardano formula也是白做的" 這10/17 22:54

53^F→hwanger: 句話10/17 22:54

57^F→hwanger: ??? LPH66大的方法就是逆推Cardano formula呀還是10/18 01:07

58^F→hwanger: Cardano's formula是有其他我不知道的推法?10/18 01:08

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