[微積] 三次函數之切線數

看板Math作者 (生命中無法承受之輕)時間7月前 (2025/05/24 15:05), 編輯推噓1(1推 0噓 20→)
留言21則, 4人參與, 7月前最新討論串1/2 (看更多)
設三次多項式函數 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d , a不為0 , b^2-3ac>0 , 設P為平面上任一點(可在函數上也可在函數外) 則過P對三次函數做切線的切線數有幾種可能? 又此時P會在何處? 我的想法是可能有一條、兩條與三條，但無法嚴謹證明 且麻煩的是也無法說明當切線有一條兩條與三條的時候P會在哪裡 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.142.89.232 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1748070339.A.5B7.html
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05/24 16:37, 7月前 , 1F
平面上的線性變換不改變圖形之間的相切關係，所以
05/24 16:37, 1F
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05/24 16:37, 7月前 , 2F
只要證明一種3次曲線（例如y=x^3)就可以了，然後求
05/24 16:37, 2F
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05/24 16:37, 7月前 , 3F
出的P點範圍再用對應的線性變換換過去
05/24 16:37, 3F
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05/24 16:48, 7月前 , 4F
等下我錯了 再想一下
05/24 16:48, 4F
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05/24 17:08, 7月前 , 5F
應該沒問題 可以先對x做變數變換x=x'+b/3a, 化為 y
05/24 17:08, 5F
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05/24 17:08, 7月前 , 6F
=x'^3+px'+q, 再對y做變換y'=y-px'-q，就化為y'=x'
05/24 17:08, 6F
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05/24 17:08, 7月前 , 7F
^3，兩個變換都不會改變切線關係。
05/24 17:08, 7F
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05/24 17:10, 7月前 , 8F
更正： x=x'-b/(3a)
05/24 17:10, 8F
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05/24 17:19, 7月前 , 9F
而y=x^3過任意點P的切線數是應該是：y（y-x^3)<0時
05/24 17:19, 9F
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05/24 17:19, 7月前 , 10F
有兩條，其他時候一條，應該不會有3條。
05/24 17:19, 10F
推
05/25 05:53, 7月前 , 11F
y' 變換改變了 b^2-3ac>0 的條件了吧?
05/25 05:53, 11F
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05/25 07:27, 7月前 , 12F
對，這個變換其實就是把反曲點的切線當成x軸，P點
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05/25 07:27, 7月前 , 13F
相對這個新軸的位置跟切線數的關係不變
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05/25 07:28, 7月前 , 14F
結論b^2-3ac>0或<0都適用
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05/25 14:05, 7月前 , 15F
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05/25 14:06, 7月前 , 16F
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05/25 17:11, 7月前 , 17F
感謝有回覆的版友們
05/25 17:11, 17F
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05/25 17:48, 7月前 , 18F
我又錯了，P夾在反區點切線和圖形之間的區域有三個
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05/25 17:48, 7月前 , 19F
切點，在線上或反曲點切線上（除了反區點之外）有
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05/25 17:48, 7月前 , 20F
兩個，在曲線及反曲點切線上方或下方和反曲點是一
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05/25 17:48, 7月前 , 21F
個才對
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