[分析] 可微性在不同運算空間之間保存?

看板Math作者 (費邊)時間20小時前 (2026/03/06 14:14), 8小時前編輯推噓4(4推 0噓 29→)
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RT 近日剛接觸複變 當然會碰到 complex function f 於z_0可微的定義 即以下極限 f(z_0+h)-f(z_0) lim --------------- 存在, z_0屬於 C h->0 h 又Apostol有一定理提到 n變數函數可微的充分條件是 某個偏導存在，且另外的n-1個偏導存在並連續 我就想那是不是後者也能推至前者 (因為單就集合本身而言，C可以視為跟 R x R 同構) 但在跟助教確認過有反例後(原因是運算規則不同): f(z) = |z|^2 在C中，f不可微 用R^2形式寫即為 (x^2+y^2)+0*i 對x偏導存在(2x)，對y、0偏導存在且連續(2y、0) 所以R^2下，依Apostol的那個定理，f(z)可微 於是就好奇，R^2跟C的可微性不能保存是因為運算規則不同 那一般下，兩個不同運算的空間之間， 是否有滿足一些條件即可保證可微性的存在，即: M and S are two different spaces with different operations, f: X -> X is differentiable on X, X in M phi: M -> S phi(f): Y -> Y, Y in S What are some conditions, if exists, for phi to satisfy such that differentiability of f on X is preserve on Y after mapping, that is, making phi(f): Y -> Y differentiable on Y? 希望大大們能給我一些答案 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.14.24.214 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1772777683.A.62C.html ※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 14:16:23
推
03/06 17:16, 17小時前 , 1F
Cauchy-Riemann equation是你要的嗎
03/06 17:16, 1F
好像一半是(我一邊回應一邊再釐清自己的問題)， Cauchy-Riemann 理解到現在是 一複變函數，若取其實部、虛部至R^2上處理後，皆可微並連續 則，R^2上滿足此方程 iff 該函數在C上可微 但我想問的是在更一般情況下，任意兩個不同運算規則的空間中 若存在一個兩空間的映射， 那是不是存在一些條件，滿足後， 可以使被映射的物件(即function)在原空間的可微性 經過映射後，在另一個空間中的運算規則下也一定可微? **也就是想知道數學上有沒有這樣的條件，先問有沒有，有的話再問是啥 要是沒有，那cauchy-riemann是特例嗎? 因為太多空間跟R的運算規則不同了，怎麼就只有C跟R^2之間有這樣關聯 ※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 19:04:47
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03/06 19:01, 16小時前 , 2F
R^2可微+Cauchy Riemann可推出C的可微
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03/06 19:10, 15小時前 , 3F
那可能要比較深的題材了，大學數學系範圍有講"可微"
03/06 19:10, 3F
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03/06 19:12, 15小時前 , 4F
概念的基本上就R^n跟C，你要有四則運算才能定義可微
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03/06 19:13, 15小時前 , 5F
基本上啦，再抽象化就是可能分析領域的研究了
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03/06 19:19, 15小時前 , 6F
說不定有一些什麼normed space 或 Sobolev space也
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03/06 19:20, 15小時前 , 7F
可以定義類似概念，我就不是很熟了
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推
03/06 23:56, 11小時前 , 8F
或者說你要不要舉例你想的「其他空間」可能是哪些
03/06 23:56, 8F
其實沒有太多想法，單純是好奇 但真要舉其他空間的話，R^n 集合但不同norm組成的空間，例如p-norm (?) 當p=2時就是euclidean norm，那一樣R^n集合但採用其他norm的空間 又或是始終沒有完全看懂證明的Arzela-Ascoli theorem中作用的函數空間 或是...那個老師在高微時隨口提的Banach Space、Hilbert Space (我完全不知道這倆有啥作用， 只知道定義分別是complete normed vector space 跟 complete inner product space)
推
03/07 00:25, 10小時前 , 9F
問了一下AI
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03/07 00:25, 10小時前 , 10F
若在C可微則R^2可微
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03/07 00:25, 10小時前 , 11F
但R^2可微C不一定可微
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03/07 00:26, 10小時前 , 12F
因為C的證明是從任何角度逼近但R^2只從兩個方向逼近
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蛤? R^2 你要從任何路徑方向逼近都可以啊，應該不是這樣吧(?) R^2 從x=y 這條線也能逼近啊，也可以從x^2拋物線逼近啊
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03/07 00:31, 10小時前 , 13F
不過AI有說C可微iffR^2可微
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03/07 00:31, 10小時前 , 14F
但他說R^n(n>=3)之後，因為沒辦法保持角度
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03/07 00:32, 10小時前 , 15F
只有在 2 維空間，向量的旋轉剛好可以用代數乘法完
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03/07 00:33, 10小時前 , 16F
達，這才讓 Cauchy-Riemann 方程式成為可能。
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03/07 00:34, 10小時前 , 17F
以上是Gemini的回答
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我為啥感覺Gemini在胡謅? 依我記憶有點遙遠的線代，旋轉似乎都能用矩陣表示， 又矩陣某種意義上是係數的表示，那這樣不能用isomorphism去反推出來嗎? 還是我記錯了(?)
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03/07 00:34, 10小時前 , 18F
我怎麼覺得Gemini比Chatgpt強很多的感覺
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03/07 00:34, 10小時前 , 19F
Chatgpt現在一直偷看我過往對話來猜測我的喜好...
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※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 01:23:44
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03/07 00:40, 10小時前 , 20F
中間漏字若滿足柯西黎曼方程式則C可微iffR^2可微
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推
03/07 01:27, 9小時前 , 21F
所謂的R^2不是x是輸入y是輸出嗎?
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03/07 01:27, 9小時前 , 22F
既然輸入端只能走x，所以只能從x兩端逼近來證明
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03/07 01:28, 9小時前 , 23F
但z平面是同時以x,iy來表達輸入
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03/07 01:29, 9小時前 , 24F
那就能從任何角度逼近
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03/07 01:34, 9小時前 , 25F
應該是我搞錯了，AI糾正我了
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03/07 01:35, 9小時前 , 26F
有點久沒碰複變分析了
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03/07 01:40, 9小時前 , 27F
我想成了y=f(x)
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03/07 01:47, 9小時前 , 28F
AI是說，2維以上沒辦法有完美的乘除法
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03/07 01:47, 9小時前 , 29F
所以那些導數定義在3維以上就不可行了
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03/07 01:48, 9小時前 , 30F
">2維，不是2維以上"
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03/07 01:55, 9小時前 , 31F
AI說矩陣乘法不具備交換率，且矩陣沒有除法
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03/07 01:56, 9小時前 , 32F
那導數連定義都沒辦法算
03/07 01:56, 32F
矩陣本身就是operator了，就像回到2x2矩陣代表2維送到2維的轉換 其實Cauchy-Riemann就是2x2 Jacobian的每個element 的一種特殊要求 而這剛好和某類旋轉矩陣一樣 我上面回應的疑問就是有沒有可能 透過isomorphism找出旋轉後去反推回jacobian?
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03/07 01:56, 9小時前 , 33F
修正"是向量沒有除法"
03/07 01:56, 33F
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 02:11:34
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