[其他] 箱中球悖論（上）

看板Math作者 (邁向學術之路)時間9月前 (2025/03/14 20:00), 9月前編輯推噓2(2推 0噓 23→)
留言25則, 3人參與, 9月前最新討論串1/4 (看更多)
Blog：https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/ 導讀： 本文分（上）、（中）、（下）三篇，這個悖論是淺顯易懂的，但想要釐清對錯就很傷腦 筋，讀者也可以讓 AI 代替你，體會燒腦的痛快！大約理工科低年級大學生的程度，就可 以更清楚理解感受這個悖論的燒腦之處。 附帶說明，為了多數讀者思考的樂趣，（中）篇才介紹和本文相關的知名悖論。不過筆者 最早構思時，是過去教學時為了介紹現代數學基礎思想的本質，刺激同學思考，也隱含未 來可能發展的方向，有興趣的讀者到時可參考（下）篇內容。 箱中球問題（原型）： 有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球，每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球 。第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半，總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪，全 部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。請問「最終箱子裡會有多少球」？ 進階問題（一）：箱中球問題中，以下丙認為最終箱子裡「有無窮多顆球」。丁、戊可以 證明最終「沒有球」，請問誰對誰錯？然後重要的事說三遍！錯在哪裡？錯在哪裡？錯在 哪裡？ 想法一（丙，大眾代表）： 既然每輪甲放進兩顆球，乙取出一顆球，每輪箱子多一顆球，經過無窮多輪，當然箱子裡 「最終有無窮多顆球」。 想法二（丁，數系公理專家）： 丁假設放球取球規則如下：第 N 輪時，甲先放進 2N-1, 2N 號球，接著乙取出 N 號球。 具體來說，第一輪甲放進 1, 2 號球，接著乙取出 1 號球。第二輪甲放進 3, 4 號球， 接著乙取出 2 號球。第三輪甲放進 5, 6 號球，接著乙取出 3 號球，依此類推。 丁說因為第一輪取出 1 號球，第二輪取出 2 號球，第 N 輪取出 N 號球，依此類推。兩 分鐘到後，經過無窮多輪，由皮亞諾公理可知，取出所有自然數的球號，因此箱子裡「最 終沒有球」。 皮亞諾公理: https://zh.wikipedia.org/zh-tw/皮亚诺公理 想法三（戊，數學分析學家）： 戊的放球取球規則同丁，設 B 是最終箱中球的編號集合。論證如下： 1. 如果 B 是空集合，代表箱子裡沒有球，結論成立。 2. 如果 B 非空，由自然數良序原理，存在最小自然數 k 屬於B。意即 k 號球最終在箱 子裡，箱中球編號最小為 k。 3. 但第 k 輪會取出 k 號球，因此 k 不屬於 B，和第 2 點矛盾！由反證法得到 B 是 空集合。 因此可以得到結論，箱子裡「最終沒有球」。 Well-ordering_principle: https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle 良序原理(百度): https://baike.baidu.com/item/良序原理/4049622 請問各位手握 AI 神器的讀者，以上想法誰對誰錯？錯在哪裡？錯在哪裡？錯在哪裡？如 果讀者覺得很傷腦筋，也可以讓 AI 代替你，體會燒腦的痛快！ -- At the end, it never ends. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1741953643.A.430.html
推
03/15 08:49, 9月前 , 1F
我覺得問題在一開始原型敘述那邊。
03/15 08:49, 1F
→
03/15 08:49, 9月前 , 2F
"兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化" 這個不應該
03/15 08:49, 2F
→
03/15 08:49, 9月前 , 3F
是公理一樣的東西，而是需要被證成的敘述
03/15 08:49, 3F
不好意思隔了這麼久才回覆 A 大，反問 A 大，兩分鐘那一刻， 理論上經過了所有自然數回合，結束後不再放球、取球，球數不再變化應該合理吧？
推
03/15 08:51, 9月前 , 4F
我覺得丙的想法最正常，但"無窮多"跟"數量不再改變"
03/15 08:51, 4F
→
03/15 08:51, 9月前 , 5F
在我看起來是相互矛盾的敘述
03/15 08:51, 5F
→
03/15 08:52, 9月前 , 6F
丁戊的推論是基於"數量不再改變"這個沒被證成的敘述
03/15 08:52, 6F
可能 A 大是潛無窮主義者，認為無窮增加、變化，永無止盡才是無窮。 敢問 A 大認可存在所有自然數集合嗎？如果自然數是無窮無盡的...
→
03/15 23:33, 9月前 , 7F
謝謝分享你的看法！等中篇發出再一起回應比較好。
03/15 23:33, 7F
→
03/19 15:46, 9月前 , 8F
03/19 15:46, 8F
→
03/21 21:39, 9月前 , 9F
謝謝h大，仔細看看，不過真的太多了XD
03/21 21:39, 9F
謝謝 h 大答覆。有點好奇您的領域? 也許你看完(中)篇會有其他想法，晚點再回覆您。 不過我有點好奇，將球的編號換成集合的編號，然後一個小結論是非負整數或無窮， 感覺和(中)篇的想法五結論類似。 大致理解 h 大的想法，取出球集是放入球集的子集，都是可數無窮集， 箱中球集是放入球集扣除取出球集(餘集)，基數可能非零整數或無窮個數， 但資訊不足以確認是基數大小，不能透過特例說明箱中球集的情況。 應該是數理邏輯學家XD 有想過想要好好回復 h 大，但恐無餘力， 中篇機率部分就寫的不太滿意了，下篇比之前預期的難寫， 想的比說的快，說的比寫的快... 還要白話文，嗯，寫多少是多少吧~~ ※ 編輯: ginstein (59.120.152.34 臺灣), 03/22/2025 19:22:57 ※ 編輯: ginstein (219.69.12.24 臺灣), 03/24/2025 22:05:10
→
03/25 17:10, 9月前 , 10F
03/25 17:10, 10F
→
03/25 17:11, 9月前 , 11F
03/25 17:11, 11F
→
03/25 17:11, 9月前 , 12F
03/25 17:11, 12F
→
03/25 17:12, 9月前 , 13F
03/25 17:12, 13F
→
03/25 17:12, 9月前 , 14F
03/25 17:12, 14F
→
03/25 17:13, 9月前 , 15F
03/25 17:13, 15F
→
03/25 17:59, 9月前 , 16F
第二張最後一段的第一行 要改成 b in BOX_n for n l
03/25 17:59, 16F
→
03/25 17:59, 9月前 , 17F
arge enough
03/25 17:59, 17F
→
03/26 06:41, 9月前 , 18F
補一個例子 就假設類似原問題的敘述 只不過現在箱子
03/26 06:41, 18F
→
03/26 06:41, 9月前 , 19F
內是一雙襪子 甲丟一隻襪子進去 乙拿一隻走
03/26 06:41, 19F
→
03/26 06:41, 9月前 , 20F
那最後箱子剩幾隻襪子
03/26 06:41, 20F
→
03/26 06:45, 9月前 , 21F
人類對無限是很無力的 要嘛你只能乖乖接受用數理邏
03/26 06:45, 21F
→
03/26 06:45, 9月前 , 22F
輯嚴格的規範無限 要嘛否定無限這個概念 但永遠不要
03/26 06:45, 22F
→
03/26 06:45, 9月前 , 23F
覺得自己理解無限
03/26 06:45, 23F
→
03/26 06:52, 9月前 , 24F
人類永遠無法真正意義上的處理無限是我以前很喜歡
03/26 06:52, 24F
→
03/26 06:52, 9月前 , 25F
對學生說的
03/26 06:52, 25F
‣ 更多 ginstein 的文章
文章代碼(AID): #1dr1fhGm (Math)
‣ 更多 ginstein 的文章
文章代碼(AID): #1dr1fhGm (Math)