[幾何] 用歐拉定理不就可以證明四色定律嗎

看板Math作者 (蠢草白癡多)時間5天前 (2026/05/04 10:58), 2天前編輯推噓2(2推 0噓 92→)
留言94則, 4人參與, 1天前最新討論串1/3 (看更多)
歐拉定理是不是已經證明了， 五個在同一個平面上不重疊的顏色， 不可能任一顏色都跟其他四個顏色都有相接？ 那就代表， 必定有一個無法跟其他四個顏色都相接的顏色， 它頂多就只能跟三個顏色相接， 那這個顏色其實就可以換成那個跟它不相接的顏色， 這樣就是四個顏色， 也就滿足了是四色定律了 同理如果平面有無數個顏色， 任意取相鄰的五個顏色， 用歐拉定理就可以知道， 這五個顏色不會每個顏色都跟其他四個顏色都相接， 所以必定有一個顏色可以換成沒相接的那個顏色， 那這五個顏色，可以變成四個顏色， 也就滿足四色定律 那為什麼一直說四色定律無法用公式證明？ ----- Sent from MeowPtt on my CPH2557 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.158.150.150 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1777863536.A.60D.html
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05/04 11:31, 5天前 , 1F
因為地圖不只五塊啊
05/04 11:31, 1F
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05/05 11:28, 4天前 , 2F
你一次只看5塊，換顏色的時候，怎麼確保不會跟這塊
05/05 11:28, 2F
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05/05 11:28, 4天前 , 3F
相臨，但不在你選的那五塊的其他格撞色
05/05 11:28, 3F
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05/05 11:30, 4天前 , 4F
任選5塊都可以用4色標成相鄰不同色，跟整張圖可以
05/05 11:30, 4F
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05/05 11:30, 4天前 , 5F
同時用四色標成相鄰不同色是不同的命題
05/05 11:30, 5F
我可以反過來說嗎 歐拉定理證明只要是四個互相都相接的色塊， 肯定不會有第五個色塊與這四個色塊都相接 就算有第六個第七個或以上也一樣 所以四色就夠用 如果以上敘述是正確， 那放大到無限大的平面和無限多圖形， 上述也會成立 電腦跑出來的結果 不就證明了 ※ 編輯: peter0122 (49.216.31.156 臺灣), 05/06/2026 17:10:10
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05/06 18:33, 2天前 , 6F
你所說的事情就是不夠 把需要證明的部份省略掉了
05/06 18:33, 6F
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05/06 18:34, 2天前 , 7F
用比較實際的例子說明，現在假設地圖有六塊，編為
05/06 18:34, 7F
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05/06 18:34, 2天前 , 8F
ABCDEF，你所講的就是說選ABCDE時可以用四色，而且
05/06 18:34, 8F
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05/06 18:35, 2天前 , 9F
選ABCDF時也可以用四色，當然為了用色最少，這兩種
05/06 18:35, 9F
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05/06 18:36, 2天前 , 10F
四色時我們都用同樣的四色且ABCD用的也都一樣
05/06 18:36, 10F
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05/06 18:37, 2天前 , 11F
但這樣沒辦法直接推到合併時E跟F不會出問題
05/06 18:37, 11F
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05/06 18:38, 2天前 , 12F
當然如果你繼續說「那就再換一下」，那當然會有成功
05/06 18:38, 12F
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05/06 18:38, 2天前 , 13F
的結果，因為這是四色定理 但怎麼換就是需要證明的
05/06 18:38, 13F
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05/06 18:38, 2天前 , 14F
部份
05/06 18:38, 14F
→ Ricestone : 我前面講的還有個漏洞，就是這樣寫也不能保證兩次 05/06 19:06
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05/06 19:07, 2天前 , 15F
的ABCD真的可以用同樣的四色
05/06 19:07, 15F
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05/06 19:08, 2天前 , 16F
喔，ABCD都只有一塊的時候應該可以，我的意思是當
05/06 19:08, 16F
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05/06 19:09, 2天前 , 17F
地圖更多塊時，單純的代換顏色可能行不通
05/06 19:09, 17F
我講的是已經被證明是事實的歐拉定理 這是一個數學原則， 在無限大的平面跟無限多的色塊 任何的局部如果是四色塊相鄰的話 就不會有第五個色塊跟這四色塊都相接 所以四色就夠用 就算有無數個相接四色塊有相鄰或重疊 也會遵守歐拉定理，不需要第五色 所以放大到整個平面都一樣 我講的是數學的原則 你講的是有可能的例外漏洞 但例外漏洞有發生嗎 你可以舉出一個任何例外漏洞出來嗎 電腦跑出來的結果不就是沒有例外漏洞嗎
推
05/07 11:16, 2天前 , 18F
塗到的後面的時候，有可能某一塊的鄰域已經出現四個
05/07 11:16, 18F
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05/07 11:17, 2天前 , 19F
不同的顏色，儘管這四塊並不一定是彼此相鄰
05/07 11:17, 19F
※ 編輯: peter0122 (49.158.150.150 臺灣), 05/07/2026 13:56:42
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05/07 14:27, 2天前 , 20F
這個定理正確 跟你的證明完備是兩件事 我們說的是
05/07 14:27, 20F
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05/07 14:27, 2天前 , 21F
你的證明用到的某個推論缺乏根據，但是命題本身有
05/07 14:27, 21F
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05/07 14:27, 2天前 , 22F
可能是對的 這種情況沒有反例不代表你的證明是正確
05/07 14:27, 22F
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05/07 14:27, 2天前 , 23F
的
05/07 14:27, 23F
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05/07 14:28, 2天前 , 24F
如果你需要電腦跑出來沒有漏洞才能支持你的命題正
05/07 14:28, 24F
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05/07 14:28, 2天前 , 25F
確，那就是用電腦的結果才能完成這個證明，而不是
05/07 14:28, 25F
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05/07 14:28, 2天前 , 26F
一個不需要電腦的證明了
05/07 14:28, 26F
推
05/07 15:39, 2天前 , 27F
好像懂你的意思，但可能有個地方被混淆了。感覺你是
05/07 15:39, 27F
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05/07 15:40, 2天前 , 28F
在說，如果已經有一張地圖塗好了五種顏色，你可以用
05/07 15:40, 28F
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05/07 15:40, 2天前 , 29F
這可定理保證一個顏色可以換回其他四個中的一個？
05/07 15:40, 29F
→
05/07 15:47, 2天前 , 30F
但是如果這五個顏色的區域有一個不是連通的，例如紅
05/07 15:47, 30F
→
05/07 15:48, 2天前 , 31F
色被塗到兩個分開的地方，那麼這個定理就不適用，減
05/07 15:48, 31F
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05/07 15:49, 2天前 , 32F
色的操作就無法確保成立
05/07 15:49, 32F
→
05/07 20:00, 1天前 , 33F
尤拉定理是尤拉定理 四色定理是四色定理
05/07 20:00, 33F
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05/07 20:01, 1天前 , 34F
兩個都是定理 你講的東西的思路就是用尤拉證明四色
05/07 20:01, 34F
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05/07 20:01, 1天前 , 35F
所以是你要去說明為什麼尤拉可以去「證明」四色
05/07 20:01, 35F
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05/07 20:04, 1天前 , 36F
你現在的邏輯就是像「因為"1+1=2"，所以"二次互反律
05/07 20:04, 36F
→
05/07 20:04, 1天前 , 37F
"是對的一樣 他們都是定理所以用電腦當然不會有例
05/07 20:04, 37F
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05/07 20:04, 1天前 , 38F
外
05/07 20:04, 38F
→
05/07 20:05, 1天前 , 39F
不然其實你根本誤會了四色定理的電腦證明
05/07 20:05, 39F
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05/07 20:05, 1天前 , 40F
即使是電腦證明也不是直接對無窮的狀態去做窮舉的
05/07 20:05, 40F
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05/07 20:05, 1天前 , 41F
我們是先證明只需要驗證有限的狀況，再用電腦去弄
05/07 20:05, 41F
→
05/07 20:11, 1天前 , 42F
不然就是你沒有察覺到你的邏輯有問題，你講很多次
05/07 20:11, 42F
→
05/07 20:12, 1天前 , 43F
五塊可以，「所以」無數塊也可以 這邊的「所以」
05/07 20:12, 43F
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05/07 20:13, 1天前 , 44F
並不是自然的邏輯推導
05/07 20:13, 44F
→
05/07 20:14, 1天前 , 45F
後面那句話就是四色定理，它的正確性直接來自四色定
05/07 20:14, 45F
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05/07 20:15, 1天前 , 46F
理本身，而不是由你那句話的「所以」自然推導過來的
05/07 20:15, 46F
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05/07 20:19, 1天前 , 47F
假設你想表達數學歸納法好了，你現在說的就是當n=5
05/07 20:19, 47F
→
05/07 20:19, 1天前 , 48F
時成立，然後就直接講n任意數都都成立了
05/07 20:19, 48F
→
05/07 20:20, 1天前 , 49F
數學歸納法需要證明的地方就是假設n=k時成立，再用
05/07 20:20, 49F
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05/07 20:21, 1天前 , 50F
n=k的基礎去證明n=k+1時也成立 我前面會說塊數更多
05/07 20:21, 50F
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05/07 20:21, 1天前 , 51F
時直接代換顏色行不通就是指這裡會有問題
05/07 20:21, 51F
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05/07 20:58, 1天前 , 52F
還是你沒有看懂ABCDEF的例子為什麼我說的操作會有
05/07 20:58, 52F
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05/07 20:58, 1天前 , 53F
問題？ E跟F相鄰的話就會出錯了
05/07 20:58, 53F
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05/07 21:00, 1天前 , 54F
所以你要證明的話得先弄出一個一般化都不會有問題的
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05/07 21:01, 1天前 , 55F
六塊的操作方式，而且還得要更一般化到能夠證明k到
05/07 21:01, 55F
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05/07 21:02, 1天前 , 56F
k+1也不會有問題的操作方式
05/07 21:02, 56F
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05/07 21:02, 1天前 , 57F
不然的話你就只是證明6塊時可以成立而已
05/07 21:02, 57F
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05/07 21:06, 1天前 , 58F
當然，前面每個有限的階段你都可以說電腦跑都不會有
05/07 21:06, 58F
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05/07 21:07, 1天前 , 59F
例外 這句話甚至用不到尤拉定理
05/07 21:07, 59F
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05/07 21:07, 1天前 , 60F
但k到k+1這一步你要如何使用電腦驗證呢？
05/07 21:07, 60F
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05/07 21:14, 1天前 , 61F
接續我前面的留言，因為你一直在說顏色相不相鄰，但
05/07 21:14, 61F
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05/07 21:15, 1天前 , 62F
定理敘述並不是「平面上的五個顏色不能兩兩相鄰」
05/07 21:15, 62F
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05/07 21:16, 1天前 , 63F
而是「平面上的五個連通區域不能兩兩相鄰」，如果允
05/07 21:16, 63F
→
05/07 21:17, 1天前 , 64F
允許使用飛地的話，五個顏色兩兩相鄰是可能的
05/07 21:17, 64F
→
05/07 21:28, 1天前 , 65F
不然可能要反回去重新問原po的尤拉公式為什麼會得到
05/07 21:28, 65F
→
05/07 21:29, 1天前 , 66F
那樣的結論 不然尤拉公式直接證明的應該是五色定
05/07 21:29, 66F
→
05/07 21:29, 1天前 , 67F
理
05/07 21:29, 67F
→
05/08 00:15, 1天前 , 68F
Just to be clear 我主要都是回應原PO的內容而已
05/08 00:15, 68F
→
05/08 14:17, 1天前 , 69F
這裡所說的地圖就是我們印象中的地圖, 而以下所提
05/08 14:17, 69F
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05/08 14:17, 1天前 , 70F
到的區域都直接假設是連通的, 並全部省去精準的定義
05/08 14:17, 70F
→
05/08 14:17, 1天前 , 71F
.
05/08 14:17, 71F
→
05/08 14:17, 1天前 , 72F
注意到原 po 用 Euler characteristic 能夠證明的
05/08 14:17, 72F
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05/08 14:17, 1天前 , 73F
其實是下面這個命題:
05/08 14:17, 73F
→
05/08 14:18, 1天前 , 74F
"""不存在一張平面的地圖、使其圖上至少有五個區域
05/08 14:18, 74F
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05/08 14:18, 1天前 , 75F
彼此有鄰邊相鄰"""
05/08 14:18, 75F
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05/08 14:19, 1天前 , 76F
然而這個命題並不顯然地等價於四色定理
05/08 14:19, 76F
→
05/08 14:19, 1天前 , 77F
(至少不是我們一般認為的等價、而非單純只是因為兩
05/08 14:19, 77F
→
05/08 14:19, 1天前 , 78F
者皆為真所以等價)
05/08 14:19, 78F
→
05/08 14:20, 1天前 , 79F
原 po 證明的漏洞在於錯誤地認為下面這個敘述是可以
05/08 14:20, 79F
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05/08 14:20, 1天前 , 80F
簡單得到的
05/08 14:20, 80F
→
05/08 14:20, 1天前 , 81F
(*) """如果有一張地圖不存在 m=5 個區域彼此有鄰
05/08 14:20, 81F
→
05/08 14:20, 1天前 , 82F
邊相鄰, 則這張地圖只需要 m-1 個顏色即可著色"""
05/08 14:20, 82F
→
05/08 14:21, 1天前 , 83F
觀察到原文後半段是應用 Euler 的性質來肯定 (*)
05/08 14:21, 83F
→
05/08 14:21, 1天前 , 84F
的前件, 而非用來證明 (*) 本身, 並且原 po 對 (*)
05/08 14:21, 84F
→
05/08 14:21, 1天前 , 85F
的論證和 m 是否為 5 是沒有關係的.
05/08 14:21, 85F
→
05/08 14:22, 1天前 , 86F
但是 (*) 在 m=3 和 4 時是有反例的:
05/08 14:22, 86F
→
05/08 14:22, 1天前 , 87F
將極座標平面用 θ=0, 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5
05/08 14:22, 87F
→
05/08 14:22, 1天前 , 88F
五條射線分成 5 塊區域, 則你在這張地圖上是找不出
05/08 14:22, 88F
→
05/08 14:22, 1天前 , 89F
3 個區域、使得其彼此之間皆有鄰邊相鄰, 可是這張
05/08 14:22, 89F
→
05/08 14:22, 1天前 , 90F
地圖卻仍然需要至少 3 個顏色才能著色.
05/08 14:22, 90F
→
05/08 14:23, 1天前 , 91F
而 m=4 的反例則只需在上述地圖中心再加一個圓盤即
05/08 14:23, 91F
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05/08 14:23, 1天前 , 92F
可
05/08 14:23, 92F
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05/08 14:23, 1天前 , 93F
題外話, 或許試著思考 Alfred Kempe 的證明錯誤在
05/08 14:23, 93F
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05/08 14:23, 1天前 , 94F
哪, 可以幫助原 po 釐清自己的證明哪裡不足
05/08 14:23, 94F
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