Re: [其他] 三個不能往下拆的問題

看板Math作者WINDHEAD (Grothendieck吹頭)時間10年前 (2013/09/08 00:00)推噓5(5推 0噓 2→)

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如果只看代數運算的話，也有很多東西可以探索。我們說 A 是一個代數(他首先是一個向量空間) 意思就是說固定一個線性映射 m: A@A -> A 這裡 @ 是 tensor product 注意到一件事情：我們只有一個二元運算，就是 m 意思就是說 2x3x5 雖然可以拆成 2x3 或 3x5 但乘法實際上只有一個，就是 x:Z@Z->Z 也就是向量空間 Map(A@A,A) 裡面的一個元素而已。那麼我們說 A 是一個結合代數又是什麼意思？這表示我們不只有乘法 m ，我們還有關於m的結合律也就是 m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c)) 移項一下就是 m(m(a,b),c)-m(a,m(b,c)) = 0 注意到左邊的東西是對所有 a,b,c 都成立的也就是說你可以把左邊的項看成向量空間 Map(A@A@A,A) 中的某個元素就叫做 $ 好了結合律就等價於我們要求元素 $ 事實上是零向量 n個A 給一個向量空間 A , 對任意正整數 n 令 C^n = Map(A@A@..@A,A) 所以 C^n 就是" A的 n 元乘法形成的線性空間" 專有名詞叫做 Hochschild co-chain 既然叫做 chain 就表示他們之間是有關連的事實上對每個 n 可以定義映射 D_n : C^n -> C^(n+1) 叫做 Hochschild differential 他們滿足 D_(n+1) D_n = 0 也就是相鄰的 differential 複合會給你零映射有了 differential 你就可以定義什麼是 Hochschild cohomology H^n 他剛好就是刻劃了你這個 A 上的代數結構可以長成什麼樣子當 A 是無窮維空間的時候，比方說 A=相空間上的光滑函數 m=本來的乘法那經過二十世紀量子力學革命之後，就有人在想一個問題，那就是怎麼去擾動乘法 m, 也就是說想辦法構造以h為參數的一族乘法 m(h) , 這裡 h 是某個很小的純量(可以想成 Planck constant) ，使得 m = m(0) ，也就是當 h 趨近於零的時候我們會得回原來的古典乘法 m，我們要求 m(h) 仍然滿足結合律，他可以是非交換的，而且要滿足海森堡對易關係。這就變成一個非常有意思的問題。你可以證明當上面提到的 H^2=0 的時候所有滿足結合律的乘法擾動都會(gauge equivalent)等價於古典的乘法 m 如果 H^3=0 那麼多項式的擾動都可以lift到你要的無窮級數擾動更高階的 H^n 含有更高階的資訊等等.... 後來還發現這些 Hochschild cochain 其實是被複數平面上的 n 點位形空間的幾何拓樸 dominate 則是更有趣的故事了。至於在這個意義下有沒有原po問的"純三元運算"? 當然還是有的.... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 108.240.250.167

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TassTW

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THEJOY

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willydp

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