Re: [中學] 多項式
※ 引述《snaredrum (好聽木琴)》之銘言：
: 求多項式 f(x) 使得 f(x^2+1) = (f(x))^2 + 1 並且 f(0)=0
: 猜的道f(x)=x是一解 但是還有其他解嬤?
可以先假設 deg(f(x)) = n
左式： deg[f(x^2+1)] = 2n
右式： deg[(f(x))^2] = n^2
因為f(0) = 0 ，所以多項式 f(x)沒有常數項 => n不為0
2n = n^2 => n = 2
設多項式 f(x) = ax^2 + bx
f(x^2+1) = a(x^2+1)^2 + b(x^2+1) = [f(x)]^2 + 1 = (ax^2 + bx)^2 + 1
=> ax^4 + (2a+b)x^2 + (a+b) = a^2*x^4 + 2ab*x^3 + bx^2 + 1
比較係數 2a+b = b => a = 0, a+b = 1 => b = 1
將a、b值代回 f(x) = ax^2 + bx = x 僅有一解
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.92.63.232
推
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