Re: [中學] [(x-1)(x-2)]/(x-2)的定義域

看板Math作者alfadick (悟道修行者)時間11年前 (2013/04/24 19:50)推噓6(6推 0噓 36→)

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※ 引述《yuyumagic424 (油油麻雞客)》之銘言： : 標題: Re: [中學] [(x-1)(x-2)]/(x-2)的定義域 : 時間: Wed Apr 24 18:17:41 2013 : 我認同你所說的, 這部份大部份的書都講得不清不楚 : 但我倒不認為講得清楚一定要用嚴謹的證明 : 這個相等是極限式的相等, 並不是函數相等 : y＝x－1 是一條直線 , 當x→2 時 , y會 .... : 由於y＝x－1是連續函數, 所以極限值會等於函數值 : 所以y會趨近到, 2－1＝1 : 問題就在這了, 教科書都是一節一節主題地這樣講下去 : 介紹了極限, 下個主題才是介紹連續 : 可是在介紹連續以前, 就已經開始做許多極限式的問題 : 就已經讓同學將x→a的那個a代進x : 我自己在教微積分的時候, 我將極限簡單介紹以後, 就會繼續去講連續. 我覺得解極限的問題沒有一個地方需要用到連續啊？可以舉例子嗎？ lim log(x^2+3x+1) ? x->3 : 也介紹了連續函數做加減乘除及合成以後仍是連續函數 : 介紹得差不多再回來做極限的問題 : 這也有個缺點, 學生不夠信任你時, 可能以為這個人教課怎麼跳來跳去的 : 再來就是本串文的問題, 關於為什麼可以消去 : 通常我講這個也會去特地強調 : 這是極限式的相等 : 若是以函數相等的角度來看 : (x＋2)(x－1) : ────── ≠ x－1 : (x＋2) : ↖以下簡稱它為 g(x) : ╭ x－1 , x≠2 時 : 事實上, g(x)＝{ : 這兩個是不同的函數, 幾乎要相等了, 但就差在 : 你把直線y＝x－1 挖掉一個點, 便得到g(x) 當初在完全沒參考資源的情況下，我無法接受 lim (x-2)(x-1)/(x-2) = lim x-1 的理由是因為消掉 x-2 我認為我如果是老師，跟同學這樣講，也會很心虛。問過很多人，都講得模模糊糊的，後來我自己想出一套說法，能說服我自己，也就是您所提的挖洞理論(James Stewart也是用這解釋) 這我覺得很ok了。感覺上也足夠嚴謹，雖然少一點味兒(symbol)。 : 然而我們現在是在處理極限式 : 當我們寫 lim g(x)＝x－1 : x→2 : 我們事實上並不是在說 g(x)＝x－1 : 我們是說, 當x→2 時, g(x)和x－1會有相同的極限完全跟我當初想出來的解說方法一樣。這講法跟 lim (x-2)(x-1)/(x-2) =====> 消掉 x-2 得 =====> 原 = lim (x-1) = 1 的講法不一樣。前者是用：「畫個圖, 我們是說, 當x→2 時, g(x)和x－1會有相同的極限」後者是用：「x趨近於2，但不是2，所以x-2不是0，分母不會無意義，分子分母一起消掉」顯然，多半的人都較喜歡前者的講法，可是多半的老師想不到前者的說法，都以後者這樣做解釋，講得理所當然貌。因為敏感的人馬上就會想：學生：喔, x不是2, 那為什麼後面lim(x-1) 又可以把2帶進去哩你不是說 x ≠2　嗎？老師：ㄜ...後面是2啊，我只是說你在看分子分母時，x-2≠０學生：什麼一下是2，一下又不是2，你把我搞得好亂！老師：趨近，但不是。 (x-2) 0 　學生：那是不是說 lim ------- ≠ ---- = ０？ x->2 6 6 老師：　沒有....x趨近於２，x-2就趨近於0，它是0.... 結果當然是　0/6 = 0 學生：　可是你一開始在　lim(x-2)(x+1)/(x-2) 的時候，　　　　　明明就跟我說要我放心，x-2不是0，可以開心消掉現在又跟我說 (x-2)/6 的分子就是不折不扣的 0 你搞得我好亂啊.............. 老師：這..你要這樣想：擺分母的 x-2 =0 是假的 (x-2)/6 的分子的0是真的，所以 lim (x-2)/6=0 學生： ....................... 那這個 lim (x-2) 是多少? x->2 老師：是0啊學生：冏.............. 我被你搞混了 x-2 lim -------- 是多少？ x->2 x-2 上下極限都是 0，但又不是真的0造成無意義，所以可以一起消掉0 變成1 老師：這樣解釋沒錯，你終於懂了。 x^2-x-2 0 學生：那我問你一個問題 lim ------------ = ------ x->2 x^2+3x-10 0 上下極限都是 0，但又不是真的0造成無意義，所以可以一起消掉0 變成1 明明就同一套說法，為什麼參考書寫答案是七分之三耶.... 老師：這..... 我..... 這樣解釋的問題在於， (x-2)(x-1) lim ----------- x->2 (x-2) (2-2)(2-1) 你不能抽出來觀察: ------------ (2-2) 不然你得到的 0/0 一下會是 1 一下無意義一下是七分之三你唯一的立論依據就是： http://ppt.cc/0vtI http://ppt.cc/8M6O : 而這原因就在於, 當x→2 時, 我們是看 : 所有不等於2的x, 越來越接近2的時候, y會跟著趨近到何值 : 而既然限定不等於2的x , 在x≠2時g(x)不就等同於x－1了嗎? : 那麼它們在x→2 時, y就會趨近到同一個值這說法和本文最上面所引用的你的文章本質相同，基本上是同一個東西也就是挖洞理論. (自己取的名字:p ) 只是求學過程中沒有遇到有老師這樣說唉後來看到 Larson 才甚是感動, 因為他還提出rigorous proof : 另外我想強調的是 : 歷史學跟你想的並不一樣 : 你所說的是國高中的歷史科 : 史家治學之嚴謹不會輸給數學家 : 歷史學者寫書比數學家寫書還要費功夫、講究 : 有空可以翻一下這本書 : http://tinyurl.com/avjgsep 我沒有調侃歷史學家的意思~~ 當初只是單純表達「把數學當歷史來背」之意。因為背的學科第一反應就是想到歷史(高中歷史)。 : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) : ◆ From: 101.3.41.143 : ※ 編輯: yuyumagic424 來自: 140.112.233.127 (04/24 18:29) : ※ 編輯: yuyumagic424 來自: 140.112.233.127 (04/24 18:30) : 推 levinc :推!認同~所謂嚴謹並非一定要賣弄「符號」表達 04/24 18:40 : → levinc :以前曾翻過一本高等數學幾乎全以文字表達的! 這種 04/24 18:43 : → levinc :書相當嚴謹也清楚只是「不習慣」要自己轉換「語言」 04/24 18:45 伸書名 >< -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.25.21.144 簡單來講， (x-2)(x-1) lim -------------- 判斷他是誰的時候 x-2 (x-2) 0*1 你不能用模棱兩可的說法： x-2 趨近於0； x-1 趨近於1；所以 = ----- 0 又x只是靠近2, 不是真的等, 所以它不是0, 可消, 得1 -------- 你最好還是用：http://ppt.cc/8M6O 或者yuyumagic大的 : 若是以函數相等的角度來看 : (x＋2)(x－1) : ────── ≠ x－1 : (x＋2) : ↖以下簡稱它為 g(x) : ╭ x－1 , x≠2 時 : 事實上, g(x)＝{ : 這兩個是不同的函數, 幾乎要相等了, 但就差在 : 你把直線y＝x－1 挖掉一個點, 便得到g(x) 挖洞理論。 ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 19:55)

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是呀，就結果上、列式上 (x-2)(x-1) lim ---------- = lim (x-1) = 2-1 = 1 沒有錯。 x->2 (x-2) http://ppt.cc/8M6O Ron Larson 在這邊用的解說很好，「像幹除法那樣除掉x-2」只是如果不用挖洞理論，而用因為x在2附近遊蕩, x根本不會是2來解釋： (x-2)(x-1) 1 因為x≠2，so lim ----------- = lim ---- (x-1) = lim(x-1) = 1 (x-2) 1 ↑↑↑消掉x-2 x^2-x-2 照此脈絡解釋： lim --------------，其中的 x^2-x-2 =0， x^2+3x-10 = 0 x->2 x^+3x-10 這裡也是 0/0，剛才也是看到0/0，一下說剛才的0/0兩者消掉可得1，一下又說這次的0/0兩者不能消掉，不會得1。對學生來講實在很弔詭不是嗎？難到 lim (x-2)=0 的等於0 和 lim (x^2-x-2) 的等於0，形式、效力、威力不一樣? 學生一定會覺得很弔詭吧？我的立場： 1. 挖洞理論解釋(本質也差不多是ε-δ證出來的那Theorem)，就很嚴謹扎實。 2. 老師不必要求學生會證ε-δ，但至少要講得出邏輯脈絡來，就好像代數基本定理，我們高中時不必會證，但要講得出「x^3-2x^2-199x+6=0 必有一實根」的邏輯根據出來。 3. 在解lim(x->9) x^2 的時候，可以想成 x趨近於九時的拋物線y=x^2，也趨近於81。這點很直觀，教學上理解上不妨這樣用。但我龜毛的覺得提完直觀說法(牽扯到連續.所以稍不喜歡) 也還是希望老師以及書能講一下純粹的代數上「它到底怎麼推出來的邏輯脈絡」我們是透過三四個 basic limit 出發 ex: lim(x->a) 的 x/ x^n/logx/ 根號x/ sinx,cosx,tanx 每一個我們都用ε-δ證過) 再利用 Limit properties: lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)=... 把複雜的極限拆成我們看過的 basic limit 得解. 好像剝洋蔥一樣，最後裡面的洋蔥心我們知道limit為何可知諸如 lim log(x^3+2x+7)．√{2x+18} =... 之類的極限如何解。 x->-6 http://ppt.cc/8ZNI (合成函數的極限就不拍了) ----- 這不只是嚴謹而已，因為你或許知道lim(x->9) x^2 = 81, because you know that y=x^2 is 連續函數(從小到大) 但你可能很難想像為什麼 lim(x->0) [(x+|x|)/2]+3^x, lim(x->0) 1/x (1/3+x-1/3) lim(x->2){log|2x^2-x-6|-log|3x^2-2x-8|} 極限會存在。用"圖形連續不斷，故帶進去函數值=極限值"的想法來看，在這裡根本無用武之地。因此回歸代數的邏輯脈絡，我覺得老師是應該強調的。 http://ppt.cc/0vtI ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 22:57) ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 22:58)

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嗯嗯所以我的意思是說 LIM[分數]裡的X-2可消「因為...所以...」這說法曖昧不明，只對一個分數裡的小元素看極限x-2 ->0, but not 0, so can directly divide out 沒理論支撐也罷了，連直觀上都站不住腳(ex 我剛說的弔詭例)。我是支持用yuyumagic大挖洞理論解釋 lim (x-2)(x-1)/(x-2) 的~~~ ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 23:13)

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t0444564

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