Re: [中學] [(x-1)(x-2)]/(x-2)的定義域
※ 引述《TassTW (塔矢)》之銘言：
: 1.
: 補充一個原 po 可能沒有想清楚的地方
: 當你寫下一個 assignment, 也就是把定義域的元素怎麼送到值域的規則時,
: 你還不能夠叫他"函數".
: 你還必須指定你的定義域和值域.
: 2.
: 3.
: 所以你最開始的問題嘛,
: 這個問題要問你自己
: 定義域是你決定的, 不是你寫出的 assignment 決定的
: 4.
: 上面那篇的意義其實是,
: 數學家習慣, 在寫出能約分的分式作 assignment 時會把他約分,
: 因為這樣可以讓定義域盡可能更大
Tass跟xcycl已經點出來第一篇問的問題的癥結點。所以我在整理一下，
回歸到原問題
多項式與有理函數只有在指定其定義域與對應域(或值域)時才能被稱為函數。
(x-2)(x-1)
(*)原問題中lim ----------
x->2 x-2
能被提問的前提是你已經指定了(x-2)(x-1)/(x-2)在x不為2時有定義。
換句話說，你已經給對抽象的表示(x-2)(x-1)/(x-2)指定了一個定義域"0<|x-2|<d"
使它變成一個函數，在這個定義域上此函數(x-2)(x-1)/(x-2)與x-1是相等的:
在0<|x-2|<d上，(x-2)(x-1)/(x-2) = x-1其中d>0。
這與你極限的概念無關。兩個不同的多項式可能在指定定義域後變成相等的多項式
函數。舉例來說兩實多項式f(x)=x^2+x+1與g(x)=x^2+1是相異的。如果我指定D={0}
為此兩個多項式的定義域，則f與g在D上定義出相等的多項式函數。(同理，我們可以
將這樣的概念擴充到有理函數上)而即使是相同的多項式，在指定不同的定義域後，我
們把他們視為相異的函數。
(如果多項式函數的定義域都包含某個點，如果兩個多項式函數在某個開集合上相等
且包含該點我們就把他們視為等價這種東西在幾何上是有用處的，他描述了函數vs
代數簇的局部行為)
有人說:我們把x=2帶入，發現他是0/0型的極限，這樣的說法是相當詭異的。
lim f(x)的定義與f(x)是否在x=2有定義無關。
x->2
很多學生在讀極限的概念時這些地方都沒想清楚，知道你處理的函數主要都以
連續函數為主，所以要算極限，直接取值就是了。其實參考書會出(*)這樣的問
題就是因為他想要問你，你知不知道極限只需要函數在x不等於2的附近有定義就
可以了，而非要考你所謂的"挖洞法"還是"消去法"。
所以當你問(x-2)(x-1)/(x-2)的定義域時，你必須要知道(x-2)(x-1)/(x-2)
是一種表示法。這個表示法是在有理函數域|R(x)是有意義的。當你想指定定義域
使其變成函數，只要是讓函數有定義，他就可以當成這個有理函數的定義域。
稱呼有理函數只是習慣用語，但他是field |R(x)中的成員，是|R[x]的field of
fraction。
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※ 編輯: herstein 來自: 132.64.27.77 (04/25 16:22)
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04/26 09:14, , 1F
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