Re: [其他] 1=0.9999999999999... 嗎

看板Math作者TassTW (塔矢)時間11年前 (2013/04/06 00:02)推噓6(6推 0噓 10→)

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※ 引述《chronodl (我是市井小小民)》之銘言： : 1.0000......00001 : 1.0 : 0.999999999999... : 0.999....99999998 : 0.9999.9999999997 : 我認為以上五個數是連續的五個數 : 如果1=0.999999... : 0.9999...就會等於0.99999.9998 : 最後整條數線上每個實數都相等 : 出現 1=2=3=4=.... 的現象 : 故 1≠0.999999.... : 只是0.9999... 無限的接近1 : 0.9999...與1之間沒有其他的數字 : 但是兩個數是不同的為了讓這個討論串趕快收斂, 我來用版眾看得懂的語言講一下你的想法, 順便說一下你的證明盲點在哪裡: 1. 此五數的定義現代數學中實數可以被視為 "有理數柯西數列的等價類" 比方說 √2 用十進位表示大概是 1.414213... 那我們照著這個十進位寫下一個有理數列 { 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... } 因為第 n 個數字之後的兩個數字之差都小於 10^-n, 所以這的確是柯西數列詳細的中文解釋可以看林琦焜的文章 http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d332/33202.pdf 因此你寫的五個數分別是 {1.1, 1.01 ,..., 1+ 10^-n, ...} {1 , 1 ,..., 1 , ...} {0.9, 0.99 ,..., 1- 10^-n, ...} {0.8, 0.98 ,..., 1-2*10^-n, ...} {0.7, 0.97 ,..., 1-3*10^-n, ...} 不難證明這五個有理數柯西數列都等價. 如有板友比較習慣極限定義, 那就想它們是 lim a_n, 其中 a_n = 1+10^-n a_n = 1 a_n = 1- 10^-n a_n = 1-2*10^-n a_n = 1-3*10^-n 取極限後, 發現這五個數列也等價 2. 論述的盲點的確, 從兩個角度來看, 這五個數都相同那麼你錯在哪裡呢? "這五個數相同, 不能推論導所有自然數都相同" 用現代數學的語言, 你等於是定義 A(k)_n := 1 + k*10^-n 然後你相信 k 足夠大的時候 lim A(k)_n 會是 2, 3, 4 或是更大的正整數 n 但是不幸的, 無論 k 多大, 這個極限都是 1 用你看得懂的語言的話, 就是說 1.0 .... 0 = 1.0 .... 01 = 1.0 .... 02 : : = 1.0 .... 09 = 1.0 .... 010 : : = 1.0 .... 0"後面接很大的數字" 但是這些數列表示的數都是 1, 不會上去到 2, 3 或 4 -- ╭═──═───══╮╭═──═╯ ． . ‧ ╰══─═──╮ ║細雪紛然，悄落無聲├╯ . . . ╰═╮╭ │衣阡陌田野以素衣裳║˙ .‧ .‥ ．．殘雪濁淖，不復瑩潔╰╯ │我心啊！請白潔勝雪║ ． , ˙ ‧. ． . 曾經底光華已為陳蹟 ║請無垢無瑕 │ 然我心啊，如磐石無轉 ╰═══──═──═╯╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴仍燁然如昔 ψTassTW -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.248.23.223 ※ 編輯: TassTW 來自: 111.248.23.223 (04/06 00:08)

推

ren1072

04/06 00:14, , 1^F

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lockheart

04/06 00:19, , 2^F

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chronodl

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