Re: [其他] 1=0.9999999999999... 嗎

看板Math作者 (翔爸)時間11年前 (2013/04/05 20:15), 編輯推噓13(13推 0噓 26→)
留言39則, 11人參與, 5年前最新討論串19/48 (看更多)
我有看公告 以下針對alfadick的內容提出一些修正 ※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言： : ※ 引述《chronodl (我是市井小小民)》之銘言： : : 我知道答案是"等於" : : 也看了一些別人的證明 : : 但是我想說 1=0.999999... 是錯誤的 : : 理論上 也只在理論上啦 : : 當討論到極限時 等號是可以成立的 : 佩服你的勇氣, 獨自和math板一堆高手對幹... : 這邊提出一個角度讓正反兩方想想看, : 如果有高中生堅持覺得 0.999999...≠１,可是又說不上來, : 你或許可以考慮將本篇的想法教他, 讓他 argue 時比較使得上力. : what is 0.9999999999...? : 應該是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...... 的 Infinite Series(無窮級數) 它是定義為infinite series : n : 0.9(1-0.1 ) : 所以它的和應該是 S_n = -------------- : 1-0.1 Wrong. S_n叫做第n項部分和 : n : 0.9(1-0.1 ) : 對此函數取 lim = -------------- = 1, 這個在微積分上可以嚴謹的證明出來, : (n->∞) 1-0.1 : 所以應該是 lim(某團東西) = 1， 在有無窮多項0.9+0.09+0.009+..的時候, 和趨近於1 : 而不是 (0.9+0.09+0.009+0.0009+...) = 1 : 或　 0.99999999999999999... = 1 Wrong again. ∞ 0.9+0.09+....= Σ9/10^n =lim S_n = 1 n=1 : _ : yes, 我是認為, 0.9 定義為 0.9+0.09+0.009+... 沒錯, : 但是當我們好奇這一堆 term 加起來是多少時, 只能用 lim 來得知 : 當"n->∞"時, S會趨近於一個定值L. 但S會不會等於L？當然不會。 : 即： : _ : 0.9 = 0.9+0.09+0.009+... = 多少？ : 有 n 項相加時, 其值為 Sn = 0.9(1-0.1^n)/(1-0.1), : n=1 時, Sn= 0.9 : n=2 時, Sn= 0.99 : n=3 時, Sn= 0.999 : ...... : n->∞時, S會趨近於一個定值L嗎？答案是會，那個值是誰？好巧不巧就是1。 : 2 : 不然你看, lim (x) = 4, 可是 x 靠近 2 時, x^2會逼近 4, : x->2 : 就算 x 無窮逼近於 2 了, f(x) 也無窮逼近於4, 可是也還是不會等於 4 啊. : 2 : (x-2) (x +3) : 再舉個例子： lim -------------， : x->2 x-2 : x 無窮靠近於2時， f(x) 會無窮靠近於 4+3 = 7, 可是永遠不會等於 7 : 因為真正在 7 = f(2) 的時候, 你發現 f(2) 根本沒有定義，所以f(x)恆不可能有7 : 可見真的是 f(x) 會無窮靠近於 7, 可是永遠不會等於 7, : lim f(x) = 7, 但f(x)永遠不等於7 : x->2 : lim S(n) = 1, 但 S(n) 永遠不會等於1 : n->∞ : 歡迎指正。 我想你的極限概念可能不太清楚... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 109.65.23.107 ※ 編輯: herstein 來自: 109.65.23.107 (04/05 20:16)
推
04/05 20:37, , 1F
感謝熱心回覆. 不過wrong again的地方, 錯誤在哪
04/05 20:37, 1F
→
04/05 20:38, , 2F
0.9循環就是等於1
04/05 20:38, 2F
→
04/05 20:39, , 3F
0.9循環本身就是被定義為無窮級數，所以它是部分和
04/05 20:39, 3F
→
04/05 20:40, , 4F
的極限
04/05 20:40, 4F
推
04/05 20:44, , 5F
無窮級數的和 就是 部份和的極限
04/05 20:44, 5F
用英文會比較清楚一點 The infinite series of (a_n)= the lim of the sequence (S_n) of n-th partial sums of (a_n), i.e. =lim S_n, n->∞ where S_n=a_1+...+a_n, for all n. ∞ (這個等號叫做定義) 所以無窮級數指的是型如Σ a_n = lim S_n 這樣的東西 n=1 n->∞ 為了避免誤解，說明一下: 一般來說寫成無窮級數的樣子只是形式上我們這麼寫(formally) 只有在lim_n S_n存在時，它才會等於一個實數。 無窮級數是數列部分和的極限。 無窮級數發散的意思是說部分和所構成的數列極限發散 無窮級數收斂的意思是說部分和所構成的數列極限存在 有時候英翻中的時候會產生誤解，很多人就在這裡搞混了。
推
04/05 20:47, , 6F
如果是這樣, 那0.9(bar)=1 無誤 ~~~~~~~
04/05 20:47, 6F
0.9循環=1 by definition.
推
04/05 20:57, , 7F
沒錯，高微課本是這樣寫的
04/05 20:57, 7F
→
04/05 21:00, , 8F
可惡 我還沒念到高微！
04/05 21:00, 8F
※ 編輯: herstein 來自: 109.65.23.107 (04/05 21:06)
推
04/05 21:04, , 9F
初微課本其實也會講啦 通常
04/05 21:04, 9F
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04/05 21:04, , 10F
補充原文書說明：http://ppt.cc/Cuon
04/05 21:04, 10F
推
04/05 21:04, , 11F
樓上你說的大致上其實沒錯呀!0.9循環是一個極限符號
04/05 21:04, 11F
→
04/05 21:05, , 12F
他實際上不等於,而極限符號是趨近的意思,0.9循環=1
04/05 21:05, 12F
→
04/05 21:05, , 13F
意思就是趨近1
04/05 21:05, 13F
最好的說法是:0.9循環等於1意思就是(S_n)的極限是1，其中S_n=0.9(1-(0.1)^n)/0.9 =等比數列9/10^n的第n項部分和。 用趨近這樣的字眼容易誤解。但口語上在本例可以說(S_n)趨近於1。(而不是說0.9循環 趨近於1) ex: a_n=1, 常數數列。lim_n a_n=1。 所以要說(a_n)的極限就是1。且它每一項都相等的，這個地方用"趨近" 並不太恰當。建議是:讀做數列a_n的極限等於1。
推
04/05 21:12, , 14F
你貼的那本是Larson 他也是這樣講呀
04/05 21:12, 14F
→
04/05 21:18, , 15F
沒,我是說我放棄了我的立場,貼文章上來給同方陣營的
04/05 21:18, 15F
→
04/05 21:18, , 16F
棄暗投明=_=
04/05 21:18, 16F
推
04/05 21:31, , 17F
同意，更精確的說法應該是"0.9循環這個極限等於1"
04/05 21:31, 17F
→
04/05 21:32, , 18F
YES
04/05 21:32, 18F
→
04/05 21:33, , 19F
語言如果使用的不夠精確真的會產生誤解
04/05 21:33, 19F
→
04/05 21:38, , 20F
真正的問題其實就是「0.999...」到底是什麼，要先
04/05 21:38, 20F
→
04/05 21:38, , 21F
回答這個問題才能問：「0.999...=1對嗎？」
04/05 21:38, 21F
→
04/05 21:39, , 22F
yes
04/05 21:39, 22F
推
04/05 21:39, , 23F
完全同意。
04/05 21:39, 23F
推
04/05 22:29, , 24F
所以說我的質疑沒錯啊 1≠0.99999...
04/05 22:29, 24F
推
04/05 22:33, , 25F
這一大串就是在說 0.9999... = 1 呀...
04/05 22:33, 25F
推
04/05 22:35, , 26F
不過真正講, lim(x->2)的(x^-4)/(x-2)
04/05 22:35, 26F
→
04/05 22:36, , 27F
(x^2-4)/(x-2)也永遠不會等於2吧, 永遠永遠不會
04/05 22:36, 27F
你把數列的極限，跟函數的極限混在一起了。
→
04/05 22:36, , 28F
不管你x有多靠近2, 或者乾脆等於2(f(2) undefined)
04/05 22:36, 28F
→
04/05 22:37, , 29F
都一樣, f(x)永遠不會=2, 但對f(x)取lim(x->2)之後
04/05 22:37, 29F
→
04/05 22:37, , 30F
lim(x->2) f(x)=2 就沒有錯了.
04/05 22:37, 30F
→
04/05 22:37, , 31F
我在想, 0.999999999999999999 應該也是同理
04/05 22:37, 31F
不是同理
→
04/05 22:38, , 32F
永遠不會等於1. 但是書寫上,因為一連串的定義,
04/05 22:38, 32F
→
04/05 22:38, , 33F
0.9循環就是1了
04/05 22:38, 33F
※ 編輯: herstein 來自: 79.179.21.179 (04/06 03:27)
推
04/06 10:01, , 34F
推~
04/06 10:01, 34F
→
08/13 17:32, , 35F
這一大串就是在說 0. https://noxiv.com
08/13 17:32, 35F
→
09/17 15:25, , 36F
所以說我的質疑沒錯啊 https://daxiv.com
09/17 15:25, 36F
→
11/10 11:36, , 37F
11/10 11:36, 37F
→
01/02 15:20, 5年前 , 38F
同意，更精確的說法應該 https://muxiv.com
01/02 15:20, 38F
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07/07 10:49, 5年前 , 39F
回答這個問題才能問：「 https://moxox.com
07/07 10:49, 39F
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