Re: [中學] 不等式證明
※ 引述《diow1 (小玉)》之銘言：
: 2 2 2 4
: 5/ 已知實數a,b,c滿足 a>b>c 且 a+b+c=1 及 a + b + c = 1 證 1< a+b < ---
: 3
先討論a,b,c的正負,
易知 0>a>b>c 不合 (因 a+b+c = 1)
a>0>b>c 不合 (a+b+c = 1 -> a>1 -> a^2+b^2+c^2>1)
a>b>c>0 不合 (a^2+b^2+c^2 <= (abc)^(2/3)<1)
故 a>b>0>c
由 a+b = 1-c 與 c<0 可知 a+b>1
再以反證法證 a+b < 4/3
設 a+b>= 4/3, 則 c<-1/3
(a^2+b^2)(1+1)>=(a+b)^2 = (4/3)^2 = 16/9
-> a^2+b^2 >= 8/9
但 c<-1/3 -> c^2>1/9
-> a^2+b^2+c^2 > 8/9+1/9 = 1, 矛盾
故知 1<a+b<4/3
: ※ 編輯: diow1 來自: 59.126.14.139 (08/22 06:47)
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08/22 20:58, , 1F
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