[中學] 不等式證明

看板Math作者 (羊)時間6年前 (2019/10/18 08:50), 編輯推噓8(8推 0噓 21→)
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推
10/18 10:20, 6年前 , 1F
10/18 10:20, 1F
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10/18 10:20, 6年前 , 2F
根據這個做法 (及一些自己的試驗)
10/18 10:20, 2F
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10/18 10:21, 6年前 , 3F
我猜最小上界是 (3/4)k^2, 不過←這個還沒想到證法
10/18 10:21, 3F
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10/18 10:40, 6年前 , 4F
哈!用正方體體積!好酷!謝謝!
10/18 10:40, 4F
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10/18 10:46, 6年前 , 5F
不知道有沒有不用幾何意義就可以證出來的方法?
10/18 10:46, 5F
推
10/18 11:17, 6年前 , 6F
把這八塊立方體體積寫開成八項就行啦
10/18 11:17, 6F
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10/18 11:17, 6年前 , 7F
從圖裡也能知道左邊會佔八項中的六項
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10/18 11:18, 6年前 , 8F
剩下兩項為正就提供了不等號的來源
10/18 11:18, 8F
推
10/18 22:41, 6年前 , 9F
(A+a)/2 >=sqrt(Aa), 得 Aa <=k^2/2
10/18 22:41, 9F
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10/18 22:43, 6年前 , 10F
三項相加<=3/4 k^2 < k^2
10/18 22:43, 10F
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10/18 22:48, 6年前 , 11F
樓上的不等式後面的結論怪怪的…
10/18 22:48, 11F
推
10/18 23:02, 6年前 , 12F
應該是k^2/4 嗎?
10/18 23:02, 12F
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10/18 23:05, 6年前 , 13F
有錯直接講出來沒什麼關係 怪怪的沒什麼幫助 XD
10/18 23:05, 13F
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10/18 23:05, 6年前 , 14F
啊 好像錯很大 抱歉 orz
10/18 23:05, 14F
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10/18 23:38, 6年前 , 15F
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10/18 23:39, 6年前 , 16F
另外一個證明方式也是幾何證明，假設一個正三角形
10/18 23:39, 16F
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10/18 23:39, 6年前 , 17F
，三邊A+a,B+b,C+c，切成4個三角形，用面積可以寫
10/18 23:39, 17F
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10/18 23:40, 6年前 , 18F
出不等式
10/18 23:40, 18F
推
10/19 13:17, 6年前 , 19F
取k=1,a=B=0.01,A=b=0.99,c=C=0.5 就超過0.75了
10/19 13:17, 19F
推
10/19 15:56, 6年前 , 20F
推正三角形幾何做法，超級簡單
10/19 15:56, 20F
推
10/19 16:02, 6年前 , 21F
而且由退化情形可以看出，等號在容許AaBbCc>=0時成
10/19 16:02, 21F
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10/19 16:02, 6年前 , 22F
立
10/19 16:02, 22F
推
10/20 07:10, 6年前 , 23F
hmmm, 回頭看一下果然猜測下的太早了
10/20 07:10, 23F
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10/20 07:11, 6年前 , 24F
從我的證法出發的話可以看到總體積和立方體體積的差
10/20 07:11, 24F
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10/20 07:12, 6年前 , 25F
是 ABC+abc, 這是可以用 ERT312 的方法使它任意小
10/20 07:12, 25F
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10/20 07:13, 6年前 , 26F
即 A=b=1-ε, a=B=ε, c=C=1/2, 這差會是 ε(1-ε)
10/20 07:13, 26F
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10/20 07:14, 6年前 , 27F
在ε→0 時這差也→0, 所以原式最小上界果然還是k^2
10/20 07:14, 27F
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10/22 20:23, 6年前 , 28F
最小值是3/4k^2沒錯。
10/22 20:23, 28F
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10/22 20:23, 6年前 , 29F
是最大值。打錯
10/22 20:23, 29F
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