Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題

看板C_Chat作者arrenwu (最是清楚哇她咩)時間2年前 (2023/12/29 15:16)推噓13(13推 0噓 7→)

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※ 引述《lolic (白蝙蝠巴比特)》之銘言： : https://i.imgur.com/uswIEJV.jpg

: 已知有三個門 : 如果你挑了a門在知道b門為錯誤情況下 : 選c門正解機率是2/3 : 不是啊就算知道b門是錯誤解 : 但還是a跟c在選啊 : 正解機率應該是一半一半吧 : 怎麼換c門就可以把b門加進來考慮 : 年底最後一天上午都在煩惱這問題 : 囧rz : 版上有沒有數學小老師洽那我們定量分析一下吧先複習一下題目參賽者會看見三扇門，其中一扇門的裏面有一輛汽車，選中裏面是汽車的那扇門，就可以贏得該輛汽車，另外兩扇門裏面則都是一隻綿羊。當參賽者選定了一扇門，主持人會開啟另一扇是綿羊的門；並問：「要不要換一扇門？」這邊要講清楚相關事件的機率分布： 1. 三扇門有大獎的機率都是 1/3 2. 參賽者一開始選擇任意一扇門的機率都是1/3，跟大獎在哪扇門無關 (其實參賽者選門的機率分布可以隨意這邊用1/3方便說明) 3. 如果參賽者選到大獎，主持人會任意選另外兩扇門的其中一扇打開 4. 如果參賽者沒選到大獎，主持人只會打開剩下兩扇終沒大獎的門 https://i.imgur.com/0KCY8UH.jpg

讓我們考慮一個非常明確的情況：參賽者選了第1扇門，主持人當他的面打開了第2扇有綿羊的門，請問此時大獎在第3扇門的機率是多少？我們定義以下隨機變數， W = 參賽者一開始選的門 T = 大獎位置 M = 主持人開的門並且用數字 1,2,3 分別代表第1扇門, 第2扇門, 第3扇門所以黃字問題變成求 P(T=3|W=1, M=2) 的值好囉現在進入大家最喜愛的計算時間了！ P(T=3 | W=1, M=2) = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2) (貝式定理) 1. P(T=3) = P(大獎在第3扇門) = 1/3 (easy) 2. P(W=1, M= 2| T=3) = P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1) P(W=1|T=3) = P(參賽者一開始選第1扇|大獎在第3扇門) = 1/3 (參賽者一開始選哪一扇門跟大獎在哪一扇門沒關係) P(M=2|T=3, W=1) = P(主持人打開第2扇門|大獎在第3扇，參賽者一開始選第1扇) = 1 所以 P(W=1, M= 2| T=3) = 1/3 * 1 = 1/3 3. P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3) ( P(W=1, M=2, T=2) = 0 因為不可能大獎在第2扇主持人還開第2扇) P(W=1, M=2, T=1) = P(T=1) * P(W=1|T=1) P(M=2|T=1, W=1) = 1/3 * 1/3 * 1/2 P(W=1, M=2, T=3) = P(T=3) P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1) = 1/3 * 1/3 * 1 所以 P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3) = 1/3 * 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/3 * 1 = 1/6 讓我們把藍字部分全部兜起來！ P(T=3 | W=1, M=2) = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2) = 1/3 * 1/3 / (1/6) = 2/3 換句話說，就是參賽者選了第1扇門，主持人當他的面打開了第2扇門，此時大獎在第3扇門的機率是 2/3 這樣子，當然要換囉！因為不換的話中獎機率就剩下1/3了對羊有興趣的話，記得晚上8點來看可愛羊羊角卷綿芽的四周年Live!!!! Link: https://www.youtube.com/watch?v=W6hZ1EYa37g