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作者 hwanger 在 PTT [ Math ] 看板的留言(推文), 共4346則

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[其他] 離散一題組

[ Math ]41 留言, 推噓總分: 0

作者: LiquidTLO - 發表於 2020/10/21 17:38(3年前)

1^F→hwanger: (a) { V finite set of N} is countable,10/21 17:58

2^F→hwanger: {G a subgraph of complete graph} is finite10/21 17:58

3^F→hwanger: countable union of countable set is countable10/21 17:58

4^F→hwanger: (b) 無窮可數所以|V|=|N| 不是有限10/21 18:01

5^F→hwanger: (c) 將V分成兩個無窮子集然後用Hint10/21 18:06

6^F→hwanger: (d)一樣將V分成兩個無窮子集然後依此對每一個遞增10/21 18:25

7^F→hwanger: 數列造一個特別的tree 並依hint得到uncountable的結10/21 18:26

8^F→hwanger: 論10/21 18:26

9^F→hwanger: 等等有事抱歉看其他大大能不能補上其他想法或者10/21 18:28

10^F→hwanger: 晚點我再補上細節抱歉10/21 18:28

15^F→hwanger: https://imgur.com/0Vs2Kee10/22 01:46

16^F→hwanger: https://imgur.com/WrKnPpx10/22 01:47

17^F→hwanger: 不太清楚你文中(a)部份的v[i],e[i]是什麼冏10/22 01:50

18^F→hwanger: (b)部份是說固定一個頂點集合V V是無窮可數的10/22 01:52

19^F→hwanger: 則考慮所有的graph其頂點集合為V 所形成的集合10/22 01:53

21^F→hwanger: 我之前只是草草寫過想法而沒有把符號定清楚抱歉10/22 01:56

22^F→hwanger: edge 1,2,3是指?10/22 01:57

25^F→hwanger: 可是第一個edge 第二個edge...不是整數呀10/22 02:10

27^F→hwanger: 先等一下我(c)是錯的之後再改抱歉10/22 02:45

29^F→hwanger: https://imgur.com/1jjoWUK10/22 06:55

30^F→hwanger: degree=2 應該是讓我們將V的元素排成一直線然後像10/22 06:58

31^F→hwanger: G_1一樣將相鄰的頂點連起來10/22 06:59

36^F→hwanger: 不是很清楚C(|V|,2)是指什麼不過如果你是想說對任10/23 15:58

37^F→hwanger: 意i<j (i,j)有取與不取的選項的話那cardinality的10/23 16:00

38^F→hwanger: 確和P(N)一樣多10/23 16:00

40^F→hwanger: 不是很重要不過你的符號可能要改一下 |E|是固定一10/23 20:41

41^F→hwanger: 個圖的edge數不過你想要的其實是所有可能圖的個數10/23 20:42

[線代] 伴隨矩陣的rank

[ Math ]21 留言, 推噓總分: 0

作者: lowpitched90 - 發表於 2020/10/22 15:22(3年前)

1^F→hwanger: 1. r=n-1的計算結果是有問題的最後一個column可能10/22 16:43

2^F→hwanger: 是不只一個非零entry的如果F不是0的情況下10/22 16:45

3^F→hwanger: 不過不影嚮結論 rank還是1 (當然也可以用右乘基本矩10/22 16:47

4^F→hwanger: 陣將F消去即可此時F是0 adj(R)就是圖中所示結果來10/22 16:48

5^F→hwanger: 自直接計算det(M_ij) )10/22 16:50

6^F→hwanger: r<n-1時 R的M_ij不管ij是啥一定會有一個row全為010/22 16:51

7^F→hwanger: 所以det(M_ij)就是0 對所有ij10/22 16:52

8^F→hwanger: 第2題不太懂你的意思他證明是用這個式子 0=10/22 16:58

9^F→hwanger: (x1+x2+x3)^2=x1^2+x2^2+x3^2+2*x1*x2+2*x2*x3+10/22 16:59

10^F→hwanger: 2*x1*x3 故2*x1*x2+2*x2*x3+2*x1*x3=-(x1^2+x2^2+10/22 17:01

11^F→hwanger: x3^2) 並以此推得由Q所引起的quadratic form在M上是10/22 17:02

12^F→hwanger: 負定的10/22 17:03

13^F→hwanger: 當然也可以用eigenspace來看 M是由那些垂直(1,1,1)10/22 17:05

14^F→hwanger: 的向量所組成的而(1,1,1)是Q特徵值為2的特徵向量10/22 17:06

15^F→hwanger: 故M是特徵值為-1的eigenspace10/22 17:08

16^F→hwanger: 又或者(1,-1,0),(0,1,-1)是M的一組基底並同時為Q特10/22 17:10

17^F→hwanger: 徵值為-1的特徵向量10/22 17:11

18^F→hwanger: Ok 我懂原PO的意思了在(b)答案中應該不是假設10/22 17:15

19^F→hwanger: (x1,x2,x3)是特徵值-1在推的而是用我上面所說的用10/22 17:16

20^F→hwanger: (x1+x2+x3)^2=0在推才對他寫的的確會讓人誤解10/22 17:17

[線代] QR分解

[ Math ]29 留言, 推噓總分: 0

作者: NTUmaki - 發表於 2020/10/21 20:54(3年前)

10^F→hwanger: 不是很重要不過如果依英文wiki的定義題中的QR就是10/22 02:48

11^F→hwanger: QR decomposition 並且QR分解有可能不唯一如下圖10/22 02:50

12^F→hwanger: https://imgur.com/Mm4zjvb10/22 02:51

13^F→hwanger: 不過一般的定義是會要求A的column vector是獨立的(10/22 02:53

14^F→hwanger: 所以A是瘦的) 此時如果要求R的對角線是正的我們才10/22 02:54

15^F→hwanger: 會有QR分解是唯一的10/22 02:54

16^F→hwanger: 如R大所述這邊定義很亂不過一般還是希望A的column10/22 03:00

17^F→hwanger: vector是獨立的所以不太確定是否真的有人特別討論10/22 03:00

18^F→hwanger: 胖的情況10/22 03:00

19^F→hwanger: 依英文wiki定義瘦分解是指對瘦矩陣做QR分解僅在A10/22 03:04

20^F→hwanger: 是full rank並且R的對角線是正的情況下分解才唯一10/22 03:05

21^F→hwanger: 昨天有點混亂不過英文wiki其實就蠻清楚了10/22 07:10

22^F→hwanger: 先考慮方陣A 我們把A=QR Q是unitary R是上三角都叫10/22 07:11

23^F→hwanger: QR分解不過在這個情形下就會像LU分解一樣造成分解10/22 07:12

24^F→hwanger: 可能不唯一加上為了能夠順利施作Gram–Schmidt 大10/22 07:14

25^F→hwanger: 部份的作者就會直接假設A的column vectors是獨立的10/22 07:15

26^F→hwanger: 所以才會得到如文中所述 QR分解需要行獨立且R可逆10/22 07:18

27^F→hwanger: 但是Gram–Schmidt的施作只需要獨立的向量並不需要10/22 07:20

28^F→hwanger: 基底所以才有好像推廣到一般矩陣的感覺但實際上10/22 07:21

29^F→hwanger: 為了讓column vector獨立你必須要求瘦矩陣才行10/22 07:24

[線代] 線代一題(eigenvalue,nullspace,...)

[ Math ]7 留言, 推噓總分: +1

作者: NTUmaki - 發表於 2020/10/21 16:35(3年前)

2^F→hwanger: 題目是說存在一個x和λ 使得λ≠0 且Ax=λx 而不是10/21 17:28

3^F→hwanger: 說所有的eigenvalue不是0 (是至少一個eigenvalue不10/21 17:29

4^F→hwanger: 是0 至於要不要把row space和column space都視作同10/21 17:32

5^F→hwanger: 一個空間的子空間或不同空間的子空間(例如視作dual10/21 17:33

6^F→hwanger: space的子空間在這一題結論都一樣就是不相等 (視10/21 17:34

7^F→hwanger: 作相等的話就是答案給的反例)10/21 17:34

[機統] 迴歸分析 F檢定

[ Math ]28 留言, 推噓總分: +1

作者: love113w - 發表於 2020/10/20 11:47(3年前)

1^F→hwanger: 圖中問題應是Regression problems的F-test 公式見10/20 15:20

2^F→hwanger: https://en.wikipedia.org/wiki/F-test10/20 15:20

3^F→hwanger: 之中的2.2Regression problems10/20 15:21

4^F→hwanger: 和圖中的式子是一致的10/20 15:23

6^F→hwanger: 對我也在想為何會有不同情況會有不同定義冏雖然10/20 17:57

7^F→hwanger: wiki也是兩個定義(其他資料也有分開的情況) 也有可10/20 18:01

8^F→hwanger: 能我學藝不精他在某個宏觀角度下是一致的也說不定10/20 18:02

9^F→hwanger: https://reurl.cc/4mbMNK 也是兩種F算法等待版上其10/20 18:06

10^F→hwanger: 他能人解答10/20 18:06

25^F→hwanger: 所以說MSR/MSE只是一個特例的公式是嗎謝謝10/20 19:02

26^F→hwanger: 喔喔翻到書了看來就是我在學ANOVA的時候就沒有仔10/20 19:36

27^F→hwanger: 細搞懂感謝c大P大10/20 19:36

證明convex hull的另一種表示法是相等的

[ Math ]49 留言, 推噓總分: 0

作者: jr80939393 - 發表於 2020/10/20 12:08(3年前)

1^F→hwanger: induction on p, p是1時顯然對於一般p 先考慮Q1,Q210/20 13:33

2^F→hwanger: Q3,...,Qp,Q{p+1},Q{p+2}所形成的convex hull10/20 13:34

3^F→hwanger: 若其中Q1,Q2,...,Q{p+1}的convex hull C'是p-1維的10/20 13:37

4^F→hwanger: 這裡要注意到的是對所有p在C中 p都會在Q{p+2}和p'的10/20 13:39

5^F→hwanger: 線段上 for some p' in C' (觀察p=ΣciQi就知道了)10/20 13:42

6^F→hwanger: by induction hypothesis 這個case ok10/20 13:44

7^F→hwanger: 接下來假設對任意p+1個點都不會落在p-1維的10/20 13:46

8^F→hwanger: hyperplane上則{Q1,...,Q{p-1},Qp},10/20 13:47

9^F→hwanger: {Q1,...,Q{p-1},Q{p+1}}, {Q1,...,Q{p-1},Q{p+2}}會10/20 13:49

10^F→hwanger: 形成三個不同的hyperplane 故至少其中一個hyperplan10/20 13:51

11^F→hwanger: 會分隔剩餘兩點(這裡需要用線代證明有些複雜) 就假10/20 13:54

12^F→hwanger: 設Q{p+1}和Q{p+2}在{Q1,...,Q{p-1},Qp}所形成的平面10/20 13:55

13^F→hwanger: 異側則存在0<=d1,d2<=1使得d1+d2=1,d1Q{p+1}+d2Q210/20 13:58

14^F→hwanger: 平面上令C'為Q1,...,Q{p-1},Qp,d1Q{p+1}+d2Q{p+2}10/20 14:00

15^F→hwanger: 所形成的convex hull 則可以證明對所有p在C中都存10/20 14:01

16^F→hwanger: 在p'在C'中使得 p要嘛在p'Q{p+1}上要嘛在p'Q{p+2}10/20 14:03

17^F→hwanger: (同樣討論p=ΣciQi就可以了不過情況更複雜)10/20 14:04

18^F→hwanger: by induction hypothesis 這個case就結束了10/20 14:05

19^F→hwanger: 現在考慮p=c1Q1+c2Q2+...+cpQp+c{p+1}Q{p+1}+10/20 14:07

20^F→hwanger: c{p+2}Q{p+2}+dQ{p+3}=(1-d)*[(c1/(1-d))*Q1+...+10/20 14:09

21^F→hwanger: (c{p+2}/(1-d))*Q{p+2}]+dQ{p+3} 其中(c1/(1-d))*Q110/20 14:11

22^F→hwanger: +...+(c{p+2}/(1-d))*Q{p+2}可以縮減成p+1個所以整10/20 14:13

23^F→hwanger: 個式子可以再縮減成p+2項然後再縮一次即可10/20 14:14

24^F→hwanger: 很多細節沒寫覺得哪有問題再補上抱歉10/20 14:16

37^F→hwanger: T大的定理是對的基本上[13:37]和[13:51]的論證不10/20 18:09

38^F→hwanger: 過接下來的induction會有點坎例如考慮三角形ABC及10/20 18:10

39^F→hwanger: 其內部一點D 令E為AD連線接著會有點小困難冏10/20 18:14

40^F→hwanger: 不過如果能證所有的點都可以由邊界的點組合出來的話10/20 18:42

41^F→hwanger: 應該就能順利搭配T大Lemma做inducition10/20 18:43

[中學] 幾何作圖

[ Math ]25 留言, 推噓總分: +2

作者: Lanjaja - 發表於 2020/10/19 12:28(3年前)

2^F→hwanger: 先考慮內切過O點做L垂線交L於B 並過A點做L垂線則10/19 12:47

3^F→hwanger: O'在後面這條垂線上則我們會有 (OB-O'A)^2+AB^2=10/19 12:49

4^F→hwanger: (r+O'A)^2 其中r是圓O的半徑得到一個O'A的一次方程10/19 12:51

5^F→hwanger: 式就有O'A該如何畫的資訊外切應該就是類似10/19 12:52

6^F→hwanger: 上面是考慮外切內切才是類似10/19 13:24

10^F→hwanger: w大的解法很漂亮下圖是基於我之前說的計算的作法10/19 14:20

11^F→hwanger: https://imgur.com/OSYdweS10/19 14:20

12^F→hwanger: 過O作L垂線得3交點D,H,B 連AD 作AD垂線交DB直線於E10/19 14:22

13^F→hwanger: 則HE線段的一半就是所求外切圓的半徑10/19 14:24

14^F→hwanger: 作HA垂線交DB直線於F 則DF線段的一半就是內切圓半徑10/19 14:35

25^F→hwanger: 也想知道用圓冪定理的希望有人提供感謝10/19 19:27

[中學] 國中的，兩圓切線的問題

[ Math ]26 留言, 推噓總分: +4

作者: aabbcc103 - 發表於 2020/10/18 03:18(3年前)

2^F→hwanger: 令O1=(0,0) O2=(12,0) P=(x,y) 則 (x^2+y^2)-25=10/18 09:08

3^F→hwanger: (PA)^2=(PB)^2=(x-12)^2+y^2-9 得x=20/3 所以P不在10/18 09:10

4^F→hwanger: x=6中垂線上而是在x=20/3這條線上故(PA)^2的最小10/18 09:11

5^F→hwanger: 值為 y^2+175/9=175/9 在y為0之時10/18 09:13

6^F→hwanger: P的確在AB中垂線上只是A,B非定點所以幫助不大10/18 09:20

12^F→hwanger: 若PA為PB的常數倍則P點的可能位置在一個圓上其圓10/18 11:49

13^F→hwanger: 心在原本兩圓的連線上現在倍數是1 得到退化型為直10/18 11:50

14^F→hwanger: 線又圓心在原本圓心連線上所以該直線垂直於圓心連10/18 11:51

15^F→hwanger: 線上10/18 11:51

17^F→hwanger: 就是算出來的看起來好像有幾何意義卻只能基於計算10/19 00:19

18^F→hwanger: 的解讀10/19 00:19

19^F→hwanger: 考慮(PA)^2=c^2(PB)^2就會得到圓方程式如我之前算10/19 00:21

20^F→hwanger: 出直線的方法10/19 00:21

23^F→hwanger: 是我見少識寡了只知道Apollonius' problem 不知道A10/19 09:53

24^F→hwanger: pollonius' definition of circles10/19 09:53

25^F→hwanger: 不清楚Apollonius circle有其他意思10/19 09:56

26^F→hwanger: 以前只把這個結果當作純粹計算的結論10/19 09:56

[幾何] 兩題幾何問題請教

[ Math ]14 留言, 推噓總分: +2

作者: nokol - 發表於 2020/10/18 17:33(3年前)

5^F→hwanger: 過E做平行於AD的線交BC於I 則EI/AD=2/3 GD/EI=3/410/18 19:09

6^F→hwanger: 過F做平行於AD的線交BC於J 則FJ/AD=1/3 HD/FJ=3/510/18 19:12

7^F→hwanger: 所以HD=(1/5)AD AG=(1/2)AD10/18 19:14

10^F→hwanger: 無法想出DF//BE之後的作法求後續感謝10/18 20:36

13^F→hwanger: 怕有人誤解我是想問第一題證明DF//BE後是有其它思10/19 00:22

14^F→hwanger: 路接著做嗎10/19 00:22

[線代] 矩陣的rank

[ Math ]5 留言, 推噓總分: 0

作者: Aquarkbrain - 發表於 2020/10/18 17:01(3年前)

2^F→hwanger: 如R大所述或直接考慮下圖10/18 18:52

3^F→hwanger: https://imgur.com/a/DFqHHR410/18 18:52

4^F→hwanger: 圖中右下角打錯應該是A22-A21A11^{-1}A1210/18 18:59

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