Re: [求助] 高中指數

看板tutor作者yuyumagic424 (油油麻雞客)時間10年前 (2013/11/09 04:09)推噓6(6推 0噓 8→)

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※ 引述《arist ( 在他方 )》之銘言： : : 函數的問題學生只要認識什麼叫做函數就可以做答 : 我想要的是一個更明確的理由來說服學生 : 「為何要知道日數與月份不是一個函數關係？」 : 就像平常我們會問哪些月有 30 天？ : 這是個很常見的問法，但為何在講函數時不把這當成函數關係？ : 為何不能夠有個函數說 month(30) ={2,4,6,9,11} : 重點不在於學生可否作答，讓學生只是知道多對一、一對一、一對多哪些是不是函數 : 那真的有增進對函數的認知嗎？一直在檢驗規定就是數學的目的嗎？嗯嗯這就是relation 和 function的不同你舉了一個month(30) ={2,4,6,9,11}這樣的relation出來但它不是function : 我國中畢業時，我會寫題目，但實在不了解什麼是函數，覺得那些題目很莫名其妙。 : 我只知道那些東西不叫做函數，但我還是搞不清楚為何要知道他是不是函數。 : 第二個面積的例子我寫得比較簡短， : 他是某個學校的月考考題「長方形的面積是長的函數嗎？」 : 答案是否，因為很多不同長度會有相同面積。 : 這種考法是違背我們平常使用的習慣，面積是隨著長與寬而變， : 但考題這樣考就是在定義上過度做文章，故意把我們覺得該是函數關係考成反面。其實我在上一篇文本來也有著墨於此後來想想覺得不想岔題再岔題就整段刪掉了這樣問其實我也覺得有點怪啦今天如果我們有多變數函數的觀念這題肯定要答是我們可以說面積A=f(a,b) , a b 是長和寬但在我們只認識單變數函數的情況之下卻會由於一對多的理由導致它不是函數長方形面積並不是長的單變數函數它應該是雙變數函數自變數是長和寬這兩個變數題目這樣考可能會讓具有多變數函數觀念的我們頭腦一時轉不過來就告訴學生說是! 結果學生說可是解答說否至於另一種困惑的理由說面積會隨著長與寬而變所以學生會覺得應該是函數關係我聽了會覺得這就是學生函數觀念不足的部份當然這也是由於數學教育本身沒有講得很清楚不是說學生觀念不足就歸咎於他首先介紹relation和funtion有什麼不同 relation正是所謂的 y 會隨著x而變但y隨著x而變並不表示它們就是函數關係函數不是這樣定的一個 relation 如果它是funtion的話不可以是一對多每一個input都只可以有一個output 所以如果你說面積會隨著長與寬而變那麼你只看出了它們有relation的關係並沒有看出是否為function 如果你還要追問為什麼要作這種區分那就已經不是題目出得好不好的問題了而是當初數學家為什麼要這樣子去分為什麼要作這種定義其實絕大多數都是有理由的只是我們面對的教育直接就丟結果給我們我們看不到歷史發展看不到這樣定的理由所以很多時候我們混淆不清就算等到我們弄清楚定義了也不知道為什麼要這樣玩可能開始使用一段時間之後開始體會到為什麼要這樣也有可能始終體會不到 function是 well-behaved relation 是一種比較好的relation 好在哪裡!? 就好在它並不會一對多我們可以很確定f(3) 而不會是f(3)有很多種可能可能是-1 可能是5 如果我要問切線斜率 f'(3) 那就很明確是以(3,f(3))這一個點當作切點而不會有很多種可能當題目要我求f(7)時我求出一個解就可以停了我不用像答國文一樣要去猜所謂的多重選擇題這題到底只有一個答案還是兩個以上它已經告訴我是單選題 relation是國文的多重選擇題可能只有一個答案也可能有多個答案 function是單選題所以你看一對多與否是不是很重要呢? 就跟作答前先知道是單選還是多選一樣重要如果回到長方形面積的問題我們的確是無法在只知道長為7的情況下去確知面積是多少呀長方形面積不是長的單變數函數如果我們已知長為7 寬為5 兩個都知道了那我就知道面積一定是35 長方形面積是長和寬的兩變數函數 : 我先前錄了一個影片，但還是有不少要改進的地方， : 但我的方向是要傳達在我們真正在談函數時 : 是否有辦法讓學生真的感受到函數的用途，而不是函數的規定。 : https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5KPNYrAtsfcM4Ej7Sll_MFj : : 這兩個其實很實用的 : : 不明白為什麼你會覺得這奇怪 : : 我反而還覺得高中介紹得太少 : : 以致於同學上了大一學微積分時 : : 需要解 sec(arctan(x))的時候不會做 : 我的疑惑是算這的目的為何？如果你的"這"是指 sec(arctan(x)) 我就給你一個例子求 arctan(x) 的導函數 (-1)' 1 由於 f (x) ＝ ───── -1 f'(f (x)) 1 1 所以為 ──────── ＝ ──── 2 1＋x^2 sec (arctan(x)) 你看是不是很實際的需要? : 學反三角的符號不就只是好奇斜率為 1/3 時對應的角度是幾度。 : arctan(1/3) 符號的設計就是「善意」的觀點來記錄書寫這個角度。你說的是它一開始的定義學數學不會只是學最一開始的東西隨著它的發展我們會發現越來越它的性質以及可以應用在許多地方這就好像說你學代數不會整天只是在看定義什麼叫群什麼叫環這樣而已會繼續有一些更多的應用、更深的定理學微積分也不是只學到什麼叫微分什麼叫積分你會很實際地應用在算面積、估算方程式的解、求極大極小等等更進一步的東西 : 操弄三角關係是三角的重點嗎？尤其是對一般高中生而言？ : 我很好奇把這問題去問在已經在做理工商科相關的人員他們的答對率會有多高？ : 這是不是一個只有數學老師在玩的遊戲？ : 當你讓學生知道 {1,1,2} ={1,2} 這是集合的規定那又如何呢？ : 可是學生說兩個西瓜一個橘子就是不等於一個西瓜一個橘子。 : 為何你講集合時要把它視為相等呢？ : 這樣可以讓學生感受到集合這樣規定的「善意」在那邊嗎？ : 就像那五隻猴子的故事說的，我們該去追問「傳統」「規定」的意義何在？集合就是我們只關心有哪些東西不關心各種東西有幾個以及順序的問題所以{1,1,2}＝{1,2} 這在我們只關心有哪些東西時這個等號是成立的實際例子就是我問(x-1)^2(x-2)＝0的根你可以答{1,2} 也可以答{2,1} 順序不重要你還可以說1是重根你想故意寫{1,1,2} 那還是對我只問根重不重根並不影響根有哪些如果今天你處理的問題是必須追究順序搞清楚各有幾個的也可以呀那我們所使用的就不叫集合我們會用序組 (1,1,2)這時候就不會等於(2,1,2) 也不會等於(2,1) 舉例來說我問丟銅板三次每次的正反面情況是如何? 那麼我的回答就會是序組不會回答集合不同的工具適用不同場合只關心有哪些東西時我們就用集合去描述你所舉的西瓜橘子這例子其實已經關心了每種水果的數量那就不是集合如果問題是: 你今天吃了哪種水果沒問你各吃幾個那答案就是西瓜和橘子甲吃了兩西瓜一橘子乙吃了一西瓜兩橘子單就吃了哪種水果這問題來說是一樣的集合{西瓜,西瓜,橘子}和{西瓜,橘子,橘子}是相等的但是序組{西瓜,西瓜,橘子}和{西瓜,橘子,橘子}是不相等的! 我另外再舉個例子說明一些其實有道理的定義但書上通常只會給定義然後就要我們解題並判定我們答對答錯不會介紹說為什麼想這樣定以前看到學弟們在爭辯關於集合的定義不免地出現這種初學者常有的問題 B＝{1,{3},5} , 請問3是否屬於B 不是我們只能說{3}這個集合本身是B中的一個元素但B中並沒有3這元素所以3並不屬性B 初學者就會很奇怪啦 3在{3}這個集合裡面 {3}在B裡面結果3卻不在B裡面??? 當然問題就出在"屬於"的定義並不是"在裡面" 而是 "是它的元素之一" 那初學者又覺得奇怪了到底為什麼要這樣搞其實這樣玩也是有道理的呀我說 C 是這樣的集合：它包含了所有連續兩位正整數所形成的閉區間 ,但這些整數不大於100 所以 C＝{[1,2] , [2,3] , ... ,[99,100]} C是一個集合它的元素們是許多區間而區間這東西本身也是集合裡面有無限多個實數那問題來了 2.5是不是C的元素? 當然不是呀今天C就是由一些區間所形成的你硬要說2.5在[2,3]裡面而[2,3]在C裡面所以2.5也在C裡面這樣就造成麻煩了我的C裡頭全都是區間你卻告訴我說有個實數是它的元素? 將例子舉得更具體請問(x-2)(x+1)(x-5)(x+3)在哪些區間是負的? 答案是(-3,-1)和(2,5)這兩個區間解集合是{(-3,-1),(2,5)} 它有兩個元素這兩個都是區間那你當然就不能說3屬於(2,5)所以也屬於這個解集合我是問哪些區間呀那當然回答區間不會回答出一個實數出來但是我們在學集合的時候並不會碰到這種例子我們只管把定義記下來、做錯時看是為什麼錯然後下次記得這種情況要答不屬於卻不知道數學家為什麼這樣玩、道理何在我覺得我們的態度不應該是自己不明其緣由就直接排斥起碼要辛苦地去找出它原因吧! 總結以上我覺得這並不是題目出得有問題而是前人們在教數學時很有問題不但中學老師這樣連大學數學系老師上課時也很少會講清楚來由的另一方面來說這也變成我有時候倒是支持不要太有所謂的獨立思考所謂的叛逆本來好像好的特質有時卻害了自己你不明白這樣定義的來由、好處就拒絕它到頭來吃虧的是自己先強迫自己接受日後才會逐漸明白我高二時也搞不懂物理的功怎麼會有做零功做負功這種事情這種荒謬的事我拒絕接受所幸後來我還是勉強讀下去後來有逐漸懂了以及小時候常聽的一些所謂的格言、人生大道理有某一些當時覺得很莫名其妙長大後隨著人生體驗才慢慢感悟到當中的大有智慧而這種東西是不可能有老師可以在你年紀尚幼時給你的我坐時光機回去講給小時候的我聽應該也是聽不進去的你在少林寺被方丈叫去提十桶水的時候其實不該因為不明白提水跟練武功什麼關聯就不去做了傻傻地去做反而正確有點扯遠回到數學學習上來說我覺得直接接受以後再慢慢體會當然不是很好最好能一開始就搞得清清楚楚但是這樣還是會好過弄不懂就直接排斥的很多人年輕時以為數學毫無用處排斥學習等上大學真的在用了再來後悔當初沒好好學何必呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.233.127 ※ 編輯: yuyumagic424 來自: 140.112.233.127 (11/09 04:25) ※ 編輯: yuyumagic424 來自: 140.112.233.127 (11/09 04:37)

推

arist

11/09 08:19, , 1^F

11/09 08:19, 1^F

嗯但我想表達的卻是這種現象不該歸咎於出題怎麼出而是數學教育怎麼施行很多東西居然沒有一開始就介紹清楚而是直接丟讓學生囫圇吞棗我想說的是題目本身我覺得沒問題 ※ 編輯: yuyumagic424 來自: 140.112.233.127 (11/09 08:21)

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arist

11/09 08:20, , 2^F

11/09 08:20, 2^F

推

arist

11/09 08:33, , 3^F