Re: [解題] 高一數學 數列與級數
※ 引述《okhunter ()》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：第一冊第三章數列與級數
: 4.題目：
: 試證 an=111…1 555…56 是完全平方數
: └──┘└─┘
: n個1 n-1個5
用一個本節教科書內容裡學生所學過的方法‥
首先觀察:
a1= 16 = 15+1
a2= 1156 = 1155+1 = 1+105+1050
a3= 111556 = 111555+1 = 1+1005+100500
... 1的後面那串是公比為10之等比級數
an=1...15...56 =1...15...5+1
n個1 n-1個5 n個1 n個5
=1+(10^n+5)+(10^n+5)*10+(10^n+5)*10^2 + ... +(10^n+5)*10^(n-1)
=1+[(10^n+5)(10^n-1)/(10-1)]
=1+ [(10^2n+4*10^n-5)/9]
=(10^2n+4*10^n+4)/9
=[(10^n+2)^2 ]/ 9
=[(10^n+2)/3)]^2
因此，an為完全平方數
其中，分子10^n+2為10...02形式的數，各位數字和為1+2=3，亦即為3的倍數
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◆ From: 140.122.174.83
推
11/13 13:11, , 1F
11/13 13:11, 1F
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