1.年級：高一
2.科目：數學
3.章節：第一冊第三章數列與級數
4.題目：
試證 an=111…1 555…56 是完全平方數
└──┘└─┘
n個1 n-1個5
5.想法：
我大致上可以看出規律如下：
n=1時 a1=16= 4^2
n=2時 a2=1156=34^2=(30+4)^2
n=3時 a3=111556=334^2=(300+30+4)^2
……
……
因此，我的目標是去證明
an=(3*10^{n-1}+3*10^{n-2}+…+30+4)^2 或
an=(3*10^{n-1}+√a_{n-1})^2，n≧2
我想嘗試用數學歸納法，可是一直找不出
前一個數和後一個數好的連結，例如：
a1 = 4^2
a2 = 1156 = 1140 + 4^2 = 30^2 + 2*30*4 + 4^2
a3 = 111556 = ... 已經有點複雜了。
再者，從出題者的角度來看，如果我如法泡製把
(任一個等比級數+某常數) 再平方，如何能看出
這麼整齊的規律？
例如：(2*10^{n-1}+2*10^{n-2}+…+20+3)^2，是否也可以得
到某個有規律的大數？
我覺得這個題目挺有意思，不過已經被我放了一個禮拜了，所
以決定po上來希望儘快把它解決。
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