Re: [解題] 高一數學 數列與級數
※ 引述《cgmEX (cgm)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：數列與級數
: 4.題目：
N N
<觀念1> Σ K = Σ [K(K+1)/2 - (K-1)K/2] = N(N+1)/2
K=1 K=1
因為 N = 1 = 1*2/2 - 0*1/2
N = 2 = 2*3/2 - 1*2/2
.
.
+) N = N = N(N+1)/2 - (N-1)N/2
------------------------------
N
Σ K = N(N+1)/2
1
N N
<觀念2> Σ K(K+1) =Σ K(K+1)(K+2)/3 - (K-1)K(K+1)/3
K=1 K=1
= N(N+1)(N+2)/3
理由同上 不再贅述
N
有空 練練 Σ K(K+1)(K+2).....(K+r) (r為確定的自然數或0)
K=1
: N
: 1. 為什麼 Σ K^2 = N(N+1)(2N+1) / 6
: K=1
N N N N
<解1> Σ K^2 = Σ [K(K+1)-K] = Σ K(K+1) - Σ K
K=1 K=1 K=1 K=1
=N(N+1)(N+2)/3 - N(N+1)/2
<解2>數學歸納法
1
N = 1時 Σ K^2 = 1^2 = 1(1+1)(2*1+1)/6 成立
K=1
N
設N = N時 Σ K^2 = 1^2 + 2^2 +....+N^2 = N(N+1)(2N+1) / 6 成立
K=1
N+1
則N = N+1時 Σ K^2 = 1^2 + 2^2 +...+N^2 + (N+1)^2
K=1
= N(N+1)(N+2)/6 + (N+1)^2
= (N+1)(N+2)(2N+3)/6
= (N+1)[(N+1)+1][2(N+1)+1]/6 成立 故.....
: N
: 而 ΣK^3 = ( 1+2+...+N)^2 = [ N(N+1)/2 ] ^2
: K=1
<解1> 因為K(K+1)(K+2) = K^3 + 3K^2 + 2K
所以K^3 = K(K+1)(K+2)-3K^2 -2K
N N N N
故ΣK^3 = ΣK(K+1)(K+2) - 3Σ K^2 - 2ΣK
K=1 K=1 K=1 K=1
= N(N+1)(N+2)(N+3)/4 - 3[N(N+1)(2N+1)/6] -2[N(N+1)/2]
<解2>國立台灣大學 數學系元老 施拱星教授
幾何証法 正方形邊長L = 1+2+3+4......N = N(N+1)/2
1
<解3> N = 1時 ΣK^3 = 1^3 = (1)^2 成立
1
N
設N = N時 ΣK^3 = 1^3 + 2^3 + ...N^3 = ( 1+2+...+N)^2 = [N(N+1)/2]^2
1 成立
N+1
而N =N+1時 ΣK^3 = 1^3 + 2^3 + ...N^3 +(N+1)^3
1
= (1+2+3...+N+N+1)^3
= (1+2+...+N)^2 + 2(1+2+3...+N)(N+1)+(N+1)^2
= [N(N+1)/2]^2 + 2[N(N+1)/2] + (N+1)^2
= {(N+1)[(N+1)+1]/2}^2 成立
故....
: 2. 設有一數列 {An} 滿足 A1+A2+..+An= 3n^2+4 ，則A10=?A1=?An=? (N>=2)
: ∞ 6^(k-1)
: 3. Σ -------- = 1
: K=1 7
: ∞ 2 - 5^n
: 4. Σ -------- = 17/6
: K=1 7^n
: 1 1 1
: 5. ------ + ----- + ------ + .... = 1/2
: 1*3 3*5 5*7
: 1 1 1 3
: 6. ---- + ----- + ----- + ... = ---
: 1*3 2*4 4*5 4
: 5.想法：
: 由於不懂的地方很多，想說如果一篇PO一文會占掉很多版面
: 因此整合在同一篇文章，如果有違反板規會立刻再做修改
: 第一個問題 一直以來都很習慣公式的結果，但是仔細思考後想不出要怎樣推導
: 因此來請教大家
: 第二個問題
: 一一列出來
: S1=7 A1= 7
: S2=16 A2= 9
: S3=31 A3= 15
: .
: .
: .
: S10=304 A10=57
: 發現 An = 6n-3
: 可以把答案都解出來，但是有點疑問
: 因為題目括號 N 大於等於2 ，那為什麼 S1 和 A1 仍然適用
: 以及 除了一一列出後觀察規則，有沒有其他方式可以推敲
: ∞ 6^(k-1)
: 3. Σ -------- = 1
: K=1 7
: 第一項為 1/7 第二項 6/7 第三項 36/7
: 顯然公比 >1 應該為發散才是 是否題目有錯誤
: ∞ 2 - 5^n
: 4. Σ -------- = 17/6
: K=1 7^n
: 我把它拆成
: ∞ 2 ∞ 5 ^n
: Σ ---- - Σ (-)
: K=1 7^n K=1 7
: 1/7 5/7
: ------ --------
: = 2* 1-1/7 - 1- 5/7
: = 2* 1/6 - 5/2
: = -13/6
: 和答案有所出入，是不是答案有錯誤
: 1 1 1
: 5. ------ + ----- + ------ + .... = 1/2
: 1*3 3*5 5*7
: 1 1 1 1 1 1
: 拆成 2( --- - --- + --- - --- + --- - --- + ...)
: 1 3 3 5 5 7
: 那為什麼答案是 1/2呢 @@
: 1 1 1 3
: 6. ---- + ----- + ----- + ... = ---
: 1*3 2*4 4*5 4
: 想不到該怎麼處理
: 以上很多問題，想跟大家請教，謝謝
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◆ From: 123.204.128.222
推
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