Re: [解題] 數列與級數
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之銘言：
: 例如我用 Lwms 大 舉的例子:
: _
: 0.9 = 1
: 正確的解釋是: 當小數點下的 9 寫的越多， "該值會越趨近於 1"
: _
: 所以 0.9 = 1 ----> 這是指 極限值為1
: _
: 那 0.9 的值是多少?
: 正確來說是未定義
_ def ∞ -k
0.9 ≡ Σ 9*10 ---(*)
k=1
_
1)0.9 有定義，按照定義其為循環小數。
_
反過來說，如果0.9沒有定義，那為何會寫出循環式子？
所以必定是承認其循環性質，才可以寫出循環式子。
而既然符合循環性質，則其必定為循環小數，故必定有定義。
-k
2)又(*)等號右邊的值即是 limΣ9*10 ，而此值存在且等於實數 1。
_
故0.9＝1。
_
一般的謬誤是說""0.9寫出來就是小於 1，怎麼可能等於1？""
這邊的盲點是"寫"不代表"算"，就算今天把sin的泰勒寫了13億項，
我也不能說這值就是sin，然而人絕對不可能寫出無限多項，那便將
此等式子以一個極限與級數來定義。
_
所以0.9既然寫成循環，那麼按照級數和的極限，算出來就是 1，
不是說他"無窮靠近"1，而是他"就是"1 .
會說無窮靠近，那必定是說這樣的數列：
-k
｛0.9 , 0.99 , 0.999 ,0.9999 ,0.99999 ,...,Σ0.9*10 ,...｝k is in Ｎ。
那麼顯然這個數列必定是遞增且有上界（即是1），隨便給定一個小的正數，
此數列中必定有某些項與 1的距離小於這個小的正數。
這邊要注意的是 1"並不在"這個數列裡面，但是 1是這個數列的極限。
為何說不在這個數列裡面？ 因為按照定義， k是自然數，自然數並不包含∞，
-k
故Σ0.9*10 < 1 for k is in Ｎ，因此此數列不含1 。
但是此數列極限就是 1。（亦即此集合之上界(supremun)）
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而0.9 就是這個數列的極限，不是近似也不是靠近，他就是 1。
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◆ From: 114.26.0.26
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